Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120584 / 29453
↖ ↑ ↗
← N 69.887844°
E151.193848°		 ← 105.02 m → N 69.887844°
E151.196594°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 69.886899°
E151.193848°		 ← 105.03 m →
11 034 m²		 N 69.886899°
E151.196594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919986724853516 y=0.224712371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919986724853516 × 217)
    floor (0.919986724853516 × 131072)
    floor (120584.5)     		tx = 120584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224712371826172 × 217)
    floor (0.224712371826172 × 131072)
    floor (29453.5)     		ty = 29453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120584 / 29453 ti = "17/120584/29453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120584/29453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120584 ÷ 217
    120584 ÷ 131072     		x = 0.91998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29453 ÷ 217
    29453 ÷ 131072     		y = 0.224708557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91998291015625 × 2 - 1) × π
    0.8399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63883045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224708557128906 × 2 - 1) × π
    0.550582885742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.72970714899049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63883045} λ = 2.63883045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72970714899049))-π/2
    2×atan(5.63900227908938)-π/2
    2×1.39528465183801-π/2
    2.79056930367602-1.57079632675     		φ = 1.21977298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63883045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21977298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.887844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120584 KachelY 29453 2.63883045 1.21977298 151.193848 69.887844
    Oben rechts KachelX + 1 120585 KachelY 29453 2.63887839 1.21977298 151.196594 69.887844
    Unten links KachelX 120584 KachelY + 1 29454 2.63883045 1.21975649 151.193848 69.886899
    Unten rechts KachelX + 1 120585 KachelY + 1 29454 2.63887839 1.21975649 151.196594 69.886899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21977298-1.21975649) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21977298-1.21975649) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63883045-2.63887839) × cos(1.21977298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343858931794666 × 6371000     		do = 105.023368698927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63883045-2.63887839) × cos(1.21975649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343874416209443 × 6371000     		du = 105.028098037768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21977298)-sin(1.21975649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343858931794666-0.343874416209443)×R²
    abs(2.63887839-2.63883045)×1.54844147764455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54844147764455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54844147764455e-05×40589641000000     		ar = 11033.7714409746m²