Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120581 / 29445
↖ ↑ ↗
← N 69.895398°
E151.185608°		 ← 104.99 m → N 69.895398°
E151.188355°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 69.894453°
E151.185608°		 ← 104.99 m →
11 023 m²		 N 69.894453°
E151.188355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919963836669922 y=0.224651336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919963836669922 × 217)
    floor (0.919963836669922 × 131072)
    floor (120581.5)     		tx = 120581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224651336669922 × 217)
    floor (0.224651336669922 × 131072)
    floor (29445.5)     		ty = 29445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120581 / 29445 ti = "17/120581/29445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120581/29445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120581 ÷ 217
    120581 ÷ 131072     		x = 0.919960021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29445 ÷ 217
    29445 ÷ 131072     		y = 0.224647521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919960021972656 × 2 - 1) × π
    0.839920043945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.63868664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224647521972656 × 2 - 1) × π
    0.550704956054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.73009064418745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63868664} λ = 2.63868664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73009064418745))-π/2
    2×atan(5.64116522409206)-π/2
    2×1.39535057409242-π/2
    2.79070114818484-1.57079632675     		φ = 1.21990482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63868664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.185608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21990482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.895398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120581 KachelY 29445 2.63868664 1.21990482 151.185608 69.895398
    Oben rechts KachelX + 1 120582 KachelY 29445 2.63873458 1.21990482 151.188355 69.895398
    Unten links KachelX 120581 KachelY + 1 29446 2.63868664 1.21988834 151.185608 69.894453
    Unten rechts KachelX + 1 120582 KachelY + 1 29446 2.63873458 1.21988834 151.188355 69.894453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21990482-1.21988834) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21990482-1.21988834) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63868664-2.63873458) × cos(1.21990482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343735128236063 × 6371000     		do = 104.985555905426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63868664-2.63873458) × cos(1.21988834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343750604007676 × 6371000     		du = 104.990282604422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21990482)-sin(1.21988834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343735128236063-0.343750604007676)×R²
    abs(2.63873458-2.63868664)×1.54757716125942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54757716125942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54757716125942e-05×40589641000000     		ar = 11023.1099935197m²