Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120581 / 120068
↖ ↑ ↗
← S 81.622952°
E151.185608°		 ← 44.50 m → S 81.622952°
E151.188355°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
S 81.623353°
E151.185608°		 ← 44.49 m →
1 982 m²		 S 81.623353°
E151.188355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919963836669922 y=0.916049957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919963836669922 × 217)
    floor (0.919963836669922 × 131072)
    floor (120581.5)     		tx = 120581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916049957275391 × 217)
    floor (0.916049957275391 × 131072)
    floor (120068.5)     		ty = 120068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120581 / 120068 ti = "17/120581/120068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120581/120068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120581 ÷ 217
    120581 ÷ 131072     		x = 0.919960021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120068 ÷ 217
    120068 ÷ 131072     		y = 0.916046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919960021972656 × 2 - 1) × π
    0.839920043945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.63868664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.83209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.6140950100809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63868664} λ = 2.63868664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6140950100809))-π/2
    2×atan(0.0732340347786519)-π/2
    2×0.0731035309673235-π/2
    0.146207061934647-1.57079632675     		φ = -1.42458926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63868664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.185608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42458926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.622952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120581 KachelY 120068 2.63868664 -1.42458926 151.185608 -81.622952
    Oben rechts KachelX + 1 120582 KachelY 120068 2.63873458 -1.42458926 151.188355 -81.622952
    Unten links KachelX 120581 KachelY + 1 120069 2.63868664 -1.42459625 151.185608 -81.623353
    Unten rechts KachelX + 1 120582 KachelY + 1 120069 2.63873458 -1.42459625 151.188355 -81.623353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42458926--1.42459625) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42458926--1.42459625) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63868664-2.63873458) × cos(-1.42458926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145686723879354 × 6371000     		do = 44.4964754489983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63868664-2.63873458) × cos(-1.42459625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145679808453692 × 6371000     		du = 44.4943632999979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42458926)-sin(-1.42459625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145686723879354-0.145679808453692)×R²
    abs(2.63873458-2.63868664)×6.91542566255698e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91542566255698e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91542566255698e-06×40589641000000     		ar = 1981.52741466773m²