Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120580 / 120067
↖ ↑ ↗
← S 81.622552°
E151.182861°		 ← 44.50 m → S 81.622552°
E151.185608°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
S 81.622952°
E151.182861°		 ← 44.50 m →
1 979 m²		 S 81.622952°
E151.185608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919956207275391 y=0.916042327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919956207275391 × 217)
    floor (0.919956207275391 × 131072)
    floor (120580.5)     		tx = 120580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916042327880859 × 217)
    floor (0.916042327880859 × 131072)
    floor (120067.5)     		ty = 120067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120580 / 120067 ti = "17/120580/120067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120580/120067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120580 ÷ 217
    120580 ÷ 131072     		x = 0.919952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120067 ÷ 217
    120067 ÷ 131072     		y = 0.916038513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919952392578125 × 2 - 1) × π
    0.83990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63863870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916038513183594 × 2 - 1) × π
    -0.832077026367188 × 3.1415926535     		Φ = -2.61404707318128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63863870} λ = 2.63863870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61404707318128))-π/2
    2×atan(0.0732375454753712)-π/2
    2×0.073107022934941-π/2
    0.146214045869882-1.57079632675     		φ = -1.42458228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63863870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.182861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42458228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.622552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120580 KachelY 120067 2.63863870 -1.42458228 151.182861 -81.622552
    Oben rechts KachelX + 1 120581 KachelY 120067 2.63868664 -1.42458228 151.185608 -81.622552
    Unten links KachelX 120580 KachelY + 1 120068 2.63863870 -1.42458926 151.182861 -81.622952
    Unten rechts KachelX + 1 120581 KachelY + 1 120068 2.63868664 -1.42458926 151.185608 -81.622952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42458228--1.42458926) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42458228--1.42458926) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63863870-2.63868664) × cos(-1.42458228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145693629404601 × 6371000     		do = 44.4985845741569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63863870-2.63868664) × cos(-1.42458926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145686723879354 × 6371000     		du = 44.4964754489983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42458228)-sin(-1.42458926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145693629404601-0.145686723879354)×R²
    abs(2.63868664-2.63863870)×6.905525246792e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.905525246792e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.905525246792e-06×40589641000000     		ar = 1978.78647058755m²