Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12058 / 13574
↖ ↑ ↗
← N 29.477861°
W 47.526855°		 ← 1 063.49 m → N 29.477861°
W 47.515869°		 →
↑
1 063.51 m
↓
↑
1 063.51 m
↓
N 29.468297°
W 47.526855°		 ← 1 063.59 m →
1 131 090 m²		 N 29.468297°
W 47.515869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367996215820312 y=0.414260864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367996215820312 × 215)
    floor (0.367996215820312 × 32768)
    floor (12058.5)     		tx = 12058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414260864257812 × 215)
    floor (0.414260864257812 × 32768)
    floor (13574.5)     		ty = 13574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12058 / 13574 ti = "15/12058/13574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12058/13574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12058 ÷ 215
    12058 ÷ 32768     		x = 0.36798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13574 ÷ 215
    13574 ÷ 32768     		y = 0.41424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82950011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41424560546875 × 2 - 1) × π
    0.1715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82950011} λ = -0.82950011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.538810751729431))-π/2
    2×atan(1.7139673169949)-π/2
    2×1.04264103054718-π/2
    2.08528206109437-1.57079632675     		φ = 0.51448573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82950011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.526855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51448573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.477861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12058 KachelY 13574 -0.82950011 0.51448573 -47.526855 29.477861
    Oben rechts KachelX + 1 12059 KachelY 13574 -0.82930836 0.51448573 -47.515869 29.477861
    Unten links KachelX 12058 KachelY + 1 13575 -0.82950011 0.51431880 -47.526855 29.468297
    Unten rechts KachelX + 1 12059 KachelY + 1 13575 -0.82930836 0.51431880 -47.515869 29.468297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51448573-0.51431880) × R
    0.00016693000000001 × 6371000     		dl = 1063.51103000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51448573-0.51431880) × R
    0.00016693000000001 × 6371000     		dr = 1063.51103000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82950011--0.82930836) × cos(0.51448573) × R
    0.000191750000000046 × 0.870545903098978 × 6371000     		do = 1063.49304415266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82950011--0.82930836) × cos(0.51431880) × R
    0.000191750000000046 × 0.870628035088825 × 6371000     		du = 1063.59337981514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51448573)-sin(0.51431880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870545903098978-0.870628035088825)×R²
    abs(-0.82930836--0.82950011)×8.21319898476336e-05×R²
    0.000191750000000046×8.21319898476336e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.21319898476336e-05×40589641000000     		ar = 1131089.93945327m²