Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12058 / 12744
↖ ↑ ↗
← S 70.199994°
E 84.946289°		 ← 827.63 m → S 70.199994°
E 84.968262°		 →
↑
827.47 m
↓
↑
827.47 m
↓
S 70.207436°
E 84.946289°		 ← 827.33 m →
684 713 m²		 S 70.207436°
E 84.968262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735992431640625 y=0.777862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735992431640625 × 214)
    floor (0.735992431640625 × 16384)
    floor (12058.5)     		tx = 12058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777862548828125 × 214)
    floor (0.777862548828125 × 16384)
    floor (12744.5)     		ty = 12744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12058 / 12744 ti = "14/12058/12744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12058/12744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12058 ÷ 214
    12058 ÷ 16384     		x = 0.7359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12744 ÷ 214
    12744 ÷ 16384     		y = 0.77783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7359619140625 × 2 - 1) × π
    0.471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.48259243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77783203125 × 2 - 1) × π
    -0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48259243} λ = 1.48259243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74567013656396))-π/2
    2×atan(0.174527992180282)-π/2
    2×0.172787647658244-π/2
    0.345575295316487-1.57079632675     		φ = -1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48259243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12058 KachelY 12744 1.48259243 -1.22522103 84.946289 -70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 12059 KachelY 12744 1.48297593 -1.22522103 84.968262 -70.199994
    Unten links KachelX 12058 KachelY + 1 12745 1.48259243 -1.22535091 84.946289 -70.207436
    Unten rechts KachelX + 1 12059 KachelY + 1 12745 1.48297593 -1.22535091 84.968262 -70.207436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22522103--1.22535091) × R
    0.000129880000000027 × 6371000     		dl = 827.46548000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22522103--1.22535091) × R
    0.000129880000000027 × 6371000     		dr = 827.46548000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48259243-1.48297593) × cos(-1.22522103) × R
    0.000383500000000092 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 827.631318817935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48259243-1.48297593) × cos(-1.22535091) × R
    0.000383500000000092 × 0.338615814497333 × 6371000     		du = 827.332739321521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22522103)-sin(-1.22535091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.338615814497333)×R²
    abs(1.48297593-1.48259243)×0.000122204446367513×R²
    0.000383500000000092×0.000122204446367513×6371000²
    0.000383500000000092×0.000122204446367513×40589641000000     		ar = 684712.81533787m²