Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120579 / 29444
↖ ↑ ↗
← N 69.896342°
E151.180115°		 ← 104.96 m → N 69.896342°
E151.182861°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 69.895398°
E151.180115°		 ← 104.96 m →
11 020 m²		 N 69.895398°
E151.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919948577880859 y=0.224643707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919948577880859 × 217)
    floor (0.919948577880859 × 131072)
    floor (120579.5)     		tx = 120579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224643707275391 × 217)
    floor (0.224643707275391 × 131072)
    floor (29444.5)     		ty = 29444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120579 / 29444 ti = "17/120579/29444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120579/29444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120579 ÷ 217
    120579 ÷ 131072     		x = 0.919944763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29444 ÷ 217
    29444 ÷ 131072     		y = 0.224639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919944763183594 × 2 - 1) × π
    0.839889526367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.63859077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224639892578125 × 2 - 1) × π
    0.55072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73013858108707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63859077} λ = 2.63859077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73013858108707))-π/2
    2×atan(5.6414356505448)-π/2
    2×1.39535881270512-π/2
    2.79071762541024-1.57079632675     		φ = 1.21992130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63859077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.180115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21992130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.896342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120579 KachelY 29444 2.63859077 1.21992130 151.180115 69.896342
    Oben rechts KachelX + 1 120580 KachelY 29444 2.63863870 1.21992130 151.182861 69.896342
    Unten links KachelX 120579 KachelY + 1 29445 2.63859077 1.21990482 151.180115 69.895398
    Unten rechts KachelX + 1 120580 KachelY + 1 29445 2.63863870 1.21990482 151.182861 69.895398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21992130-1.21990482) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21992130-1.21990482) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63859077-2.63863870) × cos(1.21992130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343719652371095 × 6371000     		do = 104.958930798996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63859077-2.63863870) × cos(1.21990482) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343735128236063 × 6371000     		du = 104.963656540539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21992130)-sin(1.21990482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343719652371095-0.343735128236063)×R²
    abs(2.63863870-2.63859077)×1.54758649677511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54758649677511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54758649677511e-05×40589641000000     		ar = 11020.3144648048m²