Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120578 / 120066
↖ ↑ ↗
← S 81.622152°
E151.177368°		 ← 44.50 m → S 81.622152°
E151.180115°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
S 81.622552°
E151.177368°		 ← 44.50 m →
1 979 m²		 S 81.622552°
E151.180115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919940948486328 y=0.916034698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919940948486328 × 217)
    floor (0.919940948486328 × 131072)
    floor (120578.5)     		tx = 120578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916034698486328 × 217)
    floor (0.916034698486328 × 131072)
    floor (120066.5)     		ty = 120066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120578 / 120066 ti = "17/120578/120066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120578/120066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120578 ÷ 217
    120578 ÷ 131072     		x = 0.919937133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120066 ÷ 217
    120066 ÷ 131072     		y = 0.916030883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919937133789062 × 2 - 1) × π
    0.839874267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63854283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916030883789062 × 2 - 1) × π
    -0.832061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61399913628166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63854283} λ = 2.63854283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61399913628166))-π/2
    2×atan(0.0732410563403864)-π/2
    2×0.0731105150681703-π/2
    0.146221030136341-1.57079632675     		φ = -1.42457530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63854283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.177368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42457530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.622152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120578 KachelY 120066 2.63854283 -1.42457530 151.177368 -81.622152
    Oben rechts KachelX + 1 120579 KachelY 120066 2.63859077 -1.42457530 151.180115 -81.622152
    Unten links KachelX 120578 KachelY + 1 120067 2.63854283 -1.42458228 151.177368 -81.622552
    Unten rechts KachelX + 1 120579 KachelY + 1 120067 2.63859077 -1.42458228 151.180115 -81.622552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42457530--1.42458228) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42457530--1.42458228) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63854283-2.63859077) × cos(-1.42457530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14570053492275 × 6371000     		do = 44.5006936971475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63854283-2.63859077) × cos(-1.42458228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145693629404601 × 6371000     		du = 44.4985845741569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42457530)-sin(-1.42458228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14570053492275-0.145693629404601)×R²
    abs(2.63859077-2.63854283)×6.90551814855334e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.90551814855334e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.90551814855334e-06×40589641000000     		ar = 1978.88026269105m²