Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120574 / 29446
↖ ↑ ↗
← N 69.894453°
E151.166382°		 ← 104.99 m → N 69.894453°
E151.169129°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 69.893509°
E151.166382°		 ← 105 m →
11 024 m²		 N 69.893509°
E151.169129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919910430908203 y=0.224658966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919910430908203 × 217)
    floor (0.919910430908203 × 131072)
    floor (120574.5)     		tx = 120574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224658966064453 × 217)
    floor (0.224658966064453 × 131072)
    floor (29446.5)     		ty = 29446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120574 / 29446 ti = "17/120574/29446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120574/29446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120574 ÷ 217
    120574 ÷ 131072     		x = 0.919906616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29446 ÷ 217
    29446 ÷ 131072     		y = 0.224655151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919906616210938 × 2 - 1) × π
    0.839813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63835108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224655151367188 × 2 - 1) × π
    0.550689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73004270728783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63835108} λ = 2.63835108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73004270728783))-π/2
    2×atan(5.64089481060242)-π/2
    2×1.39534233510884-π/2
    2.79068467021768-1.57079632675     		φ = 1.21988834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63835108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.166382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21988834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.894453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120574 KachelY 29446 2.63835108 1.21988834 151.166382 69.894453
    Oben rechts KachelX + 1 120575 KachelY 29446 2.63839902 1.21988834 151.169129 69.894453
    Unten links KachelX 120574 KachelY + 1 29447 2.63835108 1.21987186 151.166382 69.893509
    Unten rechts KachelX + 1 120575 KachelY + 1 29447 2.63839902 1.21987186 151.169129 69.893509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21988834-1.21987186) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21988834-1.21987186) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63835108-2.63839902) × cos(1.21988834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343750604007676 × 6371000     		do = 104.990282604422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63835108-2.63839902) × cos(1.21987186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343766079685929 × 6371000     		du = 104.995009274905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21988834)-sin(1.21987186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343750604007676-0.343766079685929)×R²
    abs(2.63839902-2.63835108)×1.54756782531629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54756782531629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54756782531629e-05×40589641000000     		ar = 11023.6062673016m²