Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120572 / 120055
↖ ↑ ↗
← S 81.617749°
E151.160889°		 ← 44.51 m → S 81.617749°
E151.163635°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
S 81.618150°
E151.160889°		 ← 44.51 m →
1 982 m²		 S 81.618150°
E151.163635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919895172119141 y=0.915950775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919895172119141 × 217)
    floor (0.919895172119141 × 131072)
    floor (120572.5)     		tx = 120572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915950775146484 × 217)
    floor (0.915950775146484 × 131072)
    floor (120055.5)     		ty = 120055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120572 / 120055 ti = "17/120572/120055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120572/120055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120572 ÷ 217
    120572 ÷ 131072     		x = 0.919891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120055 ÷ 217
    120055 ÷ 131072     		y = 0.915946960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919891357421875 × 2 - 1) × π
    0.83978271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63825521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915946960449219 × 2 - 1) × π
    -0.831893920898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.61347183038584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63825521} λ = 2.63825521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61347183038584))-π/2
    2×atan(0.0732796869653938)-π/2
    2×0.0731489394662755-π/2
    0.146297878932551-1.57079632675     		φ = -1.42449845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63825521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.160889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42449845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.617749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120572 KachelY 120055 2.63825521 -1.42449845 151.160889 -81.617749
    Oben rechts KachelX + 1 120573 KachelY 120055 2.63830314 -1.42449845 151.163635 -81.617749
    Unten links KachelX 120572 KachelY + 1 120056 2.63825521 -1.42450544 151.160889 -81.618150
    Unten rechts KachelX + 1 120573 KachelY + 1 120056 2.63830314 -1.42450544 151.163635 -81.618150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42449845--1.42450544) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42449845--1.42450544) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63825521-2.63830314) × cos(-1.42449845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145776564406031 × 6371000     		do = 44.5146276334787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63825521-2.63830314) × cos(-1.42450544) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145769649072871 × 6371000     		du = 44.5125159533069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42449845)-sin(-1.42450544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145776564406031-0.145769649072871)×R²
    abs(2.63830314-2.63825521)×6.91533315985704e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.91533315985704e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.91533315985704e-06×40589641000000     		ar = 1982.33580150078m²