Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12057 / 15114
↖ ↑ ↗
← N 13.816744°
W 47.537842°		 ← 1 186.29 m → N 13.816744°
W 47.526855°		 →
↑
1 186.34 m
↓
↑
1 186.34 m
↓
N 13.806075°
W 47.537842°		 ← 1 186.34 m →
1 407 381 m²		 N 13.806075°
W 47.526855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367965698242188 y=0.461257934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367965698242188 × 215)
    floor (0.367965698242188 × 32768)
    floor (12057.5)     		tx = 12057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461257934570312 × 215)
    floor (0.461257934570312 × 32768)
    floor (15114.5)     		ty = 15114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12057 / 15114 ti = "15/12057/15114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12057/15114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12057 ÷ 215
    12057 ÷ 32768     		x = 0.367950439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15114 ÷ 215
    15114 ÷ 32768     		y = 0.46124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.26409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82969186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    0.0775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.243519450069885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82969186} λ = -0.82969186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243519450069885))-π/2
    2×atan(1.275731130659)-π/2
    2×0.905972001155489-π/2
    1.81194400231098-1.57079632675     		φ = 0.24114768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82969186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.537842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24114768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.816744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12057 KachelY 15114 -0.82969186 0.24114768 -47.537842 13.816744
    Oben rechts KachelX + 1 12058 KachelY 15114 -0.82950011 0.24114768 -47.526855 13.816744
    Unten links KachelX 12057 KachelY + 1 15115 -0.82969186 0.24096147 -47.537842 13.806075
    Unten rechts KachelX + 1 12058 KachelY + 1 15115 -0.82950011 0.24096147 -47.526855 13.806075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24114768-0.24096147) × R
    0.000186209999999992 × 6371000     		dl = 1186.34390999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24114768-0.24096147) × R
    0.000186209999999992 × 6371000     		dr = 1186.34390999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82969186--0.82950011) × cos(0.24114768) × R
    0.000191749999999935 × 0.97106452865337 × 6371000     		do = 1186.29054248531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82969186--0.82950011) × cos(0.24096147) × R
    0.000191749999999935 × 0.971108981978705 × 6371000     		du = 1186.34484841233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24114768)-sin(0.24096147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97106452865337-0.971108981978705)×R²
    abs(-0.82950011--0.82969186)×4.44533253343149e-05×R²
    0.000191749999999935×4.44533253343149e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.44533253343149e-05×40589641000000     		ar = 1407380.77738759m²