Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120569 / 29427
↖ ↑ ↗
← N 69.912385°
E151.152649°		 ← 104.88 m → N 69.912385°
E151.155395°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 69.911441°
E151.152649°		 ← 104.88 m →
11 005 m²		 N 69.911441°
E151.155395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919872283935547 y=0.224514007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919872283935547 × 217)
    floor (0.919872283935547 × 131072)
    floor (120569.5)     		tx = 120569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224514007568359 × 217)
    floor (0.224514007568359 × 131072)
    floor (29427.5)     		ty = 29427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120569 / 29427 ti = "17/120569/29427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120569/29427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120569 ÷ 217
    120569 ÷ 131072     		x = 0.919868469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29427 ÷ 217
    29427 ÷ 131072     		y = 0.224510192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919868469238281 × 2 - 1) × π
    0.839736938476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.63811140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224510192871094 × 2 - 1) × π
    0.550979614257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.73095350838061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63811140} λ = 2.63811140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73095350838061))-π/2
    2×atan(5.64603488419717)-π/2
    2×1.39549881239083-π/2
    2.79099762478167-1.57079632675     		φ = 1.22020130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63811140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.152649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22020130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.912385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120569 KachelY 29427 2.63811140 1.22020130 151.152649 69.912385
    Oben rechts KachelX + 1 120570 KachelY 29427 2.63815933 1.22020130 151.155395 69.912385
    Unten links KachelX 120569 KachelY + 1 29428 2.63811140 1.22018483 151.152649 69.911441
    Unten rechts KachelX + 1 120570 KachelY + 1 29428 2.63815933 1.22018483 151.155395 69.911441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22020130-1.22018483) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22020130-1.22018483) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63811140-2.63815933) × cos(1.22020130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343456698654343 × 6371000     		do = 104.878634718253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63811140-2.63815933) × cos(1.22018483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343472166713172 × 6371000     		du = 104.883358076097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22020130)-sin(1.22018483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343456698654343-0.343472166713172)×R²
    abs(2.63815933-2.63811140)×1.54680588282385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54680588282385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54680588282385e-05×40589641000000     		ar = 11005.2017583187m²