Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120562 / 29430
↖ ↑ ↗
← N 69.909554°
E151.133423°		 ← 104.91 m → N 69.909554°
E151.136170°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
N 69.908611°
E151.133423°		 ← 104.92 m →
11 002 m²		 N 69.908611°
E151.136170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919818878173828 y=0.224536895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919818878173828 × 217)
    floor (0.919818878173828 × 131072)
    floor (120562.5)     		tx = 120562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224536895751953 × 217)
    floor (0.224536895751953 × 131072)
    floor (29430.5)     		ty = 29430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120562 / 29430 ti = "17/120562/29430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120562/29430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120562 ÷ 217
    120562 ÷ 131072     		x = 0.919815063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29430 ÷ 217
    29430 ÷ 131072     		y = 0.224533081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919815063476562 × 2 - 1) × π
    0.839630126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63777584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224533081054688 × 2 - 1) × π
    0.550933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73080969768175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63777584} λ = 2.63777584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73080969768175))-π/2
    2×atan(5.64522298235617)-π/2
    2×1.39547411434892-π/2
    2.79094822869785-1.57079632675     		φ = 1.22015190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63777584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.133423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22015190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.909554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120562 KachelY 29430 2.63777584 1.22015190 151.133423 69.909554
    Oben rechts KachelX + 1 120563 KachelY 29430 2.63782378 1.22015190 151.136170 69.909554
    Unten links KachelX 120562 KachelY + 1 29431 2.63777584 1.22013544 151.133423 69.908611
    Unten rechts KachelX + 1 120563 KachelY + 1 29431 2.63782378 1.22013544 151.136170 69.908611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22015190-1.22013544) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22015190-1.22013544) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63777584-2.63782378) × cos(1.22015190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343503093159797 × 6371000     		do = 104.914686420551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63777584-2.63782378) × cos(1.22013544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343518551547698 × 6371000     		du = 104.919407810115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22015190)-sin(1.22013544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343503093159797-0.343518551547698)×R²
    abs(2.63782378-2.63777584)×1.5458387901679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5458387901679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5458387901679e-05×40589641000000     		ar = 11002.3003084304m²