Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120556 / 119964
↖ ↑ ↗
← S 81.581235°
E151.116944°		 ← 44.71 m → S 81.581235°
E151.119690°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
S 81.581637°
E151.116944°		 ← 44.71 m →
1 999 m²		 S 81.581637°
E151.119690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919773101806641 y=0.915256500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919773101806641 × 217)
    floor (0.919773101806641 × 131072)
    floor (120556.5)     		tx = 120556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915256500244141 × 217)
    floor (0.915256500244141 × 131072)
    floor (119964.5)     		ty = 119964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120556 / 119964 ti = "17/120556/119964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120556/119964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120556 ÷ 217
    120556 ÷ 131072     		x = 0.919769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119964 ÷ 217
    119964 ÷ 131072     		y = 0.915252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919769287109375 × 2 - 1) × π
    0.83953857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63748822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.83050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60910957252042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63748822} λ = 2.63748822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60910957252042))-π/2
    2×atan(0.0736000501015162)-π/2
    2×0.0734675840176542-π/2
    0.146935168035308-1.57079632675     		φ = -1.42386116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63748822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.116944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42386116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.581235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120556 KachelY 119964 2.63748822 -1.42386116 151.116944 -81.581235
    Oben rechts KachelX + 1 120557 KachelY 119964 2.63753615 -1.42386116 151.119690 -81.581235
    Unten links KachelX 120556 KachelY + 1 119965 2.63748822 -1.42386818 151.116944 -81.581637
    Unten rechts KachelX + 1 120557 KachelY + 1 119965 2.63753615 -1.42386818 151.119690 -81.581637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42386116--1.42386818) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42386116--1.42386818) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63748822-2.63753615) × cos(-1.42386116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146407016935139 × 6371000     		do = 44.7071438975858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63748822-2.63753615) × cos(-1.42386818) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146400072575989 × 6371000     		du = 44.7050233539787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42386116)-sin(-1.42386818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146407016935139-0.146400072575989)×R²
    abs(2.63753615-2.63748822)×6.94435915030156e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.94435915030156e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.94435915030156e-06×40589641000000     		ar = 1999.45366053081m²