Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120555 / 29419
↖ ↑ ↗
← N 69.919930°
E151.114197°		 ← 104.86 m → N 69.919930°
E151.116944°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
N 69.918987°
E151.114197°		 ← 104.87 m →
10 997 m²		 N 69.918987°
E151.116944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919765472412109 y=0.224452972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919765472412109 × 217)
    floor (0.919765472412109 × 131072)
    floor (120555.5)     		tx = 120555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224452972412109 × 217)
    floor (0.224452972412109 × 131072)
    floor (29419.5)     		ty = 29419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120555 / 29419 ti = "17/120555/29419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120555/29419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120555 ÷ 217
    120555 ÷ 131072     		x = 0.919761657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29419 ÷ 217
    29419 ÷ 131072     		y = 0.224449157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919761657714844 × 2 - 1) × π
    0.839523315429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.63744028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224449157714844 × 2 - 1) × π
    0.551101684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.73133700357757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63744028} λ = 2.63744028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73133700357757))-π/2
    2×atan(5.64820052668734)-π/2
    2×1.39556465752983-π/2
    2.79112931505966-1.57079632675     		φ = 1.22033299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63744028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.114197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22033299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.919930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120555 KachelY 29419 2.63744028 1.22033299 151.114197 69.919930
    Oben rechts KachelX + 1 120556 KachelY 29419 2.63748822 1.22033299 151.116944 69.919930
    Unten links KachelX 120555 KachelY + 1 29420 2.63744028 1.22031653 151.114197 69.918987
    Unten rechts KachelX + 1 120556 KachelY + 1 29420 2.63748822 1.22031653 151.116944 69.918987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22033299-1.22031653) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dl = 104.866659999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22033299-1.22031653) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dr = 104.866659999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63744028-2.63748822) × cos(1.22033299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343333016575043 × 6371000     		do = 104.862740653796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63744028-2.63748822) × cos(1.22031653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343348475986608 × 6371000     		du = 104.867462356013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22033299)-sin(1.22031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343333016575043-0.343348475986608)×R²
    abs(2.63748822-2.63744028)×1.54594115648887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54594115648887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54594115648887e-05×40589641000000     		ar = 10996.85294542m²