Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12055 / 20478
↖ ↑ ↗
← S 40.963308°
W 47.559814°		 ← 922.45 m → S 40.963308°
W 47.548828°		 →
↑
922.39 m
↓
↑
922.39 m
↓
S 40.971603°
W 47.559814°		 ← 922.33 m →
850 806 m²		 S 40.971603°
W 47.548828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367904663085938 y=0.624954223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367904663085938 × 215)
    floor (0.367904663085938 × 32768)
    floor (12055.5)     		tx = 12055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624954223632812 × 215)
    floor (0.624954223632812 × 32768)
    floor (20478.5)     		ty = 20478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12055 / 20478 ti = "15/12055/20478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12055/20478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12055 ÷ 215
    12055 ÷ 32768     		x = 0.367889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20478 ÷ 215
    20478 ÷ 32768     		y = 0.62493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.26422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83007535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.78501466817804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83007535} λ = -0.83007535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78501466817804))-π/2
    2×atan(0.456113011389714)-π/2
    2×0.427925865261164-π/2
    0.855851730522328-1.57079632675     		φ = -0.71494460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83007535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.559814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71494460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.963308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12055 KachelY 20478 -0.83007535 -0.71494460 -47.559814 -40.963308
    Oben rechts KachelX + 1 12056 KachelY 20478 -0.82988361 -0.71494460 -47.548828 -40.963308
    Unten links KachelX 12055 KachelY + 1 20479 -0.83007535 -0.71508938 -47.559814 -40.971603
    Unten rechts KachelX + 1 12056 KachelY + 1 20479 -0.82988361 -0.71508938 -47.548828 -40.971603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71494460--0.71508938) × R
    0.000144779999999955 × 6371000     		dl = 922.393379999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71494460--0.71508938) × R
    0.000144779999999955 × 6371000     		dr = 922.393379999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83007535--0.82988361) × cos(-0.71494460) × R
    0.000191739999999996 × 0.755129561257668 × 6371000     		do = 922.447801563279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83007535--0.82988361) × cos(-0.71508938) × R
    0.000191739999999996 × 0.755034639110788 × 6371000     		du = 922.331846990446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71494460)-sin(-0.71508938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755129561257668-0.755034639110788)×R²
    abs(-0.82988361--0.83007535)×9.49221468803385e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49221468803385e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49221468803385e-05×40589641000000     		ar = 850806.269178247m²