Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12055 / 13587
↖ ↑ ↗
← N 29.353452°
W 47.559814°		 ← 1 064.74 m → N 29.353452°
W 47.548828°		 →
↑
1 064.85 m
↓
↑
1 064.85 m
↓
N 29.343875°
W 47.559814°		 ← 1 064.84 m →
1 133 841 m²		 N 29.343875°
W 47.548828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367904663085938 y=0.414657592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367904663085938 × 215)
    floor (0.367904663085938 × 32768)
    floor (12055.5)     		tx = 12055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414657592773438 × 215)
    floor (0.414657592773438 × 32768)
    floor (13587.5)     		ty = 13587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12055 / 13587 ti = "15/12055/13587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12055/13587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12055 ÷ 215
    12055 ÷ 32768     		x = 0.367889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13587 ÷ 215
    13587 ÷ 32768     		y = 0.414642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.26422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83007535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414642333984375 × 2 - 1) × π
    0.17071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.536318032949188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83007535} λ = -0.83007535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536318032949188))-π/2
    2×atan(1.70970019904715)-π/2
    2×1.04155535261212-π/2
    2.08311070522424-1.57079632675     		φ = 0.51231438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83007535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.559814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51231438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.353452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12055 KachelY 13587 -0.83007535 0.51231438 -47.559814 29.353452
    Oben rechts KachelX + 1 12056 KachelY 13587 -0.82988361 0.51231438 -47.548828 29.353452
    Unten links KachelX 12055 KachelY + 1 13588 -0.83007535 0.51214724 -47.559814 29.343875
    Unten rechts KachelX + 1 12056 KachelY + 1 13588 -0.82988361 0.51214724 -47.548828 29.343875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51231438-0.51214724) × R
    0.000167139999999955 × 6371000     		dl = 1064.84893999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51231438-0.51214724) × R
    0.000167139999999955 × 6371000     		dr = 1064.84893999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83007535--0.82988361) × cos(0.51231438) × R
    0.000191739999999996 × 0.87161234363417 × 6371000     		do = 1064.74031934555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83007535--0.82988361) × cos(0.51214724) × R
    0.000191739999999996 × 0.87169426278523 × 6371000     		du = 1064.84038977675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51231438)-sin(0.51214724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87161234363417-0.87169426278523)×R²
    abs(-0.82988361--0.83007535)×8.19191510602613e-05×R²
    0.000191739999999996×8.19191510602613e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.19191510602613e-05×40589641000000     		ar = 1133840.88301621m²