Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120541 / 119838
S 81.530417°
E151.075744°
← 44.98 m → S 81.530417°
E151.078491°

44.98 m

44.98 m
S 81.530821°
E151.075744°
← 44.98 m →
2 023 m²
S 81.530821°
E151.078491°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919658660888672 y=0.914295196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919658660888672 × 217)
    floor (0.919658660888672 × 131072)
    floor (120541.5)
    tx = 120541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914295196533203 × 217)
    floor (0.914295196533203 × 131072)
    floor (119838.5)
    ty = 119838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120541 / 119838 ti = "17/120541/119838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120541/119838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120541 ÷ 217
    120541 ÷ 131072
    x = 0.919654846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119838 ÷ 217
    119838 ÷ 131072
    y = 0.914291381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.919654846191406 × 2 - 1) × π
    0.839309692382812 × 3.1415926535
    Λ = 2.63676916
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.914291381835938 × 2 - 1) × π
    -0.828582763671875 × 3.1415926535
    Φ = -2.60306952316829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63676916} λ = 2.63676916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60306952316829))-π/2
    2×atan(0.0740459432892822)-π/2
    2×0.0739110603255976-π/2
    0.147822120651195-1.57079632675
    φ = -1.42297421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63676916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.075744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42297421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.530417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120541 KachelY 119838 2.63676916 -1.42297421 151.075744 -81.530417
    Oben rechts KachelX + 1 120542 KachelY 119838 2.63681710 -1.42297421 151.078491 -81.530417
    Unten links KachelX 120541 KachelY + 1 119839 2.63676916 -1.42298127 151.075744 -81.530821
    Unten rechts KachelX + 1 120542 KachelY + 1 119839 2.63681710 -1.42298127 151.078491 -81.530821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.42297421--1.42298127) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000
    dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.42297421--1.42298127) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000
    dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.63676916-2.63681710) × cos(-1.42297421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147284351846132 × 6371000
    do = 44.9844321529956m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.63676916-2.63681710) × cos(-1.42298127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147277368837469 × 6371000
    du = 44.9822993624074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.42297421)-sin(-1.42298127))×
    abs(λ12)×abs(0.147284351846132-0.147277368837469)×
    abs(2.63681710-2.63676916)×6.98300866261437e-06×
    4.79399999999686e-05×6.98300866261437e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.98300866261437e-06×40589641000000
    ar = 2023.31850411486m²