Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120541 / 119837
↖ ↑ ↗
← S 81.530012°
E151.075744°		 ← 44.99 m → S 81.530012°
E151.078491°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
S 81.530417°
E151.075744°		 ← 44.98 m →
2 023 m²		 S 81.530417°
E151.078491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919658660888672 y=0.914287567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919658660888672 × 217)
    floor (0.919658660888672 × 131072)
    floor (120541.5)     		tx = 120541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914287567138672 × 217)
    floor (0.914287567138672 × 131072)
    floor (119837.5)     		ty = 119837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120541 / 119837 ti = "17/120541/119837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120541/119837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120541 ÷ 217
    120541 ÷ 131072     		x = 0.919654846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119837 ÷ 217
    119837 ÷ 131072     		y = 0.914283752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919654846191406 × 2 - 1) × π
    0.839309692382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.63676916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914283752441406 × 2 - 1) × π
    -0.828567504882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.60302158626867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63676916} λ = 2.63676916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60302158626867))-π/2
    2×atan(0.0740494929073111)-π/2
    2×0.0739145905869755-π/2
    0.147829181173951-1.57079632675     		φ = -1.42296715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63676916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.075744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42296715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.530012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120541 KachelY 119837 2.63676916 -1.42296715 151.075744 -81.530012
    Oben rechts KachelX + 1 120542 KachelY 119837 2.63681710 -1.42296715 151.078491 -81.530012
    Unten links KachelX 120541 KachelY + 1 119838 2.63676916 -1.42297421 151.075744 -81.530417
    Unten rechts KachelX + 1 120542 KachelY + 1 119838 2.63681710 -1.42297421 151.078491 -81.530417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42296715--1.42297421) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42296715--1.42297421) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63676916-2.63681710) × cos(-1.42296715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147291334847453 × 6371000     		do = 44.9865649413416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63676916-2.63681710) × cos(-1.42297421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147284351846132 × 6371000     		du = 44.9844321529956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42296715)-sin(-1.42297421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147291334847453-0.147284351846132)×R²
    abs(2.63681710-2.63676916)×6.9830013214589e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.9830013214589e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.9830013214589e-06×40589641000000     		ar = 2023.41443539374m²