Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12054 / 13586
↖ ↑ ↗
← N 29.363027°
W 47.570801°		 ← 1 064.70 m → N 29.363027°
W 47.559814°		 →
↑
1 064.72 m
↓
↑
1 064.72 m
↓
N 29.353452°
W 47.570801°		 ← 1 064.80 m →
1 133 658 m²		 N 29.353452°
W 47.559814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367874145507812 y=0.414627075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367874145507812 × 215)
    floor (0.367874145507812 × 32768)
    floor (12054.5)     		tx = 12054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414627075195312 × 215)
    floor (0.414627075195312 × 32768)
    floor (13586.5)     		ty = 13586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12054 / 13586 ti = "15/12054/13586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12054/13586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12054 ÷ 215
    12054 ÷ 32768     		x = 0.36785888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13586 ÷ 215
    13586 ÷ 32768     		y = 0.41461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83026710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41461181640625 × 2 - 1) × π
    0.1707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.536509780547669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83026710} λ = -0.83026710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536509780547669))-π/2
    2×atan(1.71002806138684)-π/2
    2×1.04163891347149-π/2
    2.08327782694298-1.57079632675     		φ = 0.51248150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83026710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.570801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51248150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.363027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12054 KachelY 13586 -0.83026710 0.51248150 -47.570801 29.363027
    Oben rechts KachelX + 1 12055 KachelY 13586 -0.83007535 0.51248150 -47.559814 29.363027
    Unten links KachelX 12054 KachelY + 1 13587 -0.83026710 0.51231438 -47.570801 29.353452
    Unten rechts KachelX + 1 12055 KachelY + 1 13587 -0.83007535 0.51231438 -47.559814 29.353452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51248150-0.51231438) × R
    0.000167120000000076 × 6371000     		dl = 1064.72152000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51248150-0.51231438) × R
    0.000167120000000076 × 6371000     		dr = 1064.72152000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83026710--0.83007535) × cos(0.51248150) × R
    0.000191750000000046 × 0.871530409940769 × 6371000     		do = 1064.69575635249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83026710--0.83007535) × cos(0.51231438) × R
    0.000191750000000046 × 0.87161234363417 × 6371000     		du = 1064.79584976825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51248150)-sin(0.51231438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871530409940769-0.87161234363417)×R²
    abs(-0.83007535--0.83026710)×8.19336934011483e-05×R²
    0.000191750000000046×8.19336934011483e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.19336934011483e-05×40589641000000     		ar = 1133657.77248707m²