Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120538 / 119870
↖ ↑ ↗
← S 81.543352°
E151.067505°		 ← 44.92 m → S 81.543352°
E151.070251°		 →
↑
44.92 m
↓
↑
44.92 m
↓
S 81.543756°
E151.067505°		 ← 44.91 m →
2 017 m²		 S 81.543756°
E151.070251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919635772705078 y=0.914539337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919635772705078 × 217)
    floor (0.919635772705078 × 131072)
    floor (120538.5)     		tx = 120538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914539337158203 × 217)
    floor (0.914539337158203 × 131072)
    floor (119870.5)     		ty = 119870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120538 / 119870 ti = "17/120538/119870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120538/119870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120538 ÷ 217
    120538 ÷ 131072     		x = 0.919631958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119870 ÷ 217
    119870 ÷ 131072     		y = 0.914535522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919631958007812 × 2 - 1) × π
    0.839263916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63662535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914535522460938 × 2 - 1) × π
    -0.829071044921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60460350395613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63662535} λ = 2.63662535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60460350395613))-π/2
    2×atan(0.0739324453089754)-π/2
    2×0.0737981802959423-π/2
    0.147596360591885-1.57079632675     		φ = -1.42319997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63662535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.067505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42319997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.543352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120538 KachelY 119870 2.63662535 -1.42319997 151.067505 -81.543352
    Oben rechts KachelX + 1 120539 KachelY 119870 2.63667329 -1.42319997 151.070251 -81.543352
    Unten links KachelX 120538 KachelY + 1 119871 2.63662535 -1.42320702 151.067505 -81.543756
    Unten rechts KachelX + 1 120539 KachelY + 1 119871 2.63667329 -1.42320702 151.070251 -81.543756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42319997--1.42320702) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dl = 44.9155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42319997--1.42320702) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dr = 44.9155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63662535-2.63667329) × cos(-1.42319997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147061050189987 × 6371000     		do = 44.9162300794246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63662535-2.63667329) × cos(-1.42320702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147054076838041 × 6371000     		du = 44.9141002382462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42319997)-sin(-1.42320702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147061050189987-0.147054076838041)×R²
    abs(2.63667329-2.63662535)×6.97335194607684e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.97335194607684e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.97335194607684e-06×40589641000000     		ar = 2017.38934661486m²