Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120537 / 119869
↖ ↑ ↗
← S 81.542948°
E151.064759°		 ← 44.91 m → S 81.542948°
E151.067505°		 →
↑
44.92 m
↓
↑
44.92 m
↓
S 81.543352°
E151.064759°		 ← 44.91 m →
2 017 m²		 S 81.543352°
E151.067505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919628143310547 y=0.914531707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919628143310547 × 217)
    floor (0.919628143310547 × 131072)
    floor (120537.5)     		tx = 120537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914531707763672 × 217)
    floor (0.914531707763672 × 131072)
    floor (119869.5)     		ty = 119869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120537 / 119869 ti = "17/120537/119869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120537/119869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120537 ÷ 217
    120537 ÷ 131072     		x = 0.919624328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119869 ÷ 217
    119869 ÷ 131072     		y = 0.914527893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919624328613281 × 2 - 1) × π
    0.839248657226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.63657742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914527893066406 × 2 - 1) × π
    -0.829055786132812 × 3.1415926535     		Φ = -2.60455556705651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63657742} λ = 2.63657742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60455556705651))-π/2
    2×atan(0.0739359894861326)-π/2
    2×0.0738017052050001-π/2
    0.14760341041-1.57079632675     		φ = -1.42319292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63657742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.064759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42319292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.542948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120537 KachelY 119869 2.63657742 -1.42319292 151.064759 -81.542948
    Oben rechts KachelX + 1 120538 KachelY 119869 2.63662535 -1.42319292 151.067505 -81.542948
    Unten links KachelX 120537 KachelY + 1 119870 2.63657742 -1.42319997 151.064759 -81.543352
    Unten rechts KachelX + 1 120538 KachelY + 1 119870 2.63662535 -1.42319997 151.067505 -81.543352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42319292--1.42319997) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dl = 44.9155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42319292--1.42319997) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dr = 44.9155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63657742-2.63662535) × cos(-1.42319292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147068023534624 × 6371000     		do = 44.9089902146481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63657742-2.63662535) × cos(-1.42319997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147061050189987 × 6371000     		du = 44.9068608199739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42319292)-sin(-1.42319997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147068023534624-0.147061050189987)×R²
    abs(2.63662535-2.63657742)×6.97334463678478e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.97334463678478e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.97334463678478e-06×40589641000000     		ar = 2017.06417394397m²