Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120532 / 119844
↖ ↑ ↗
← S 81.532843°
E151.051025°		 ← 44.97 m → S 81.532843°
E151.053772°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
S 81.533248°
E151.051025°		 ← 44.97 m →
2 023 m²		 S 81.533248°
E151.053772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919589996337891 y=0.914340972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919589996337891 × 217)
    floor (0.919589996337891 × 131072)
    floor (120532.5)     		tx = 120532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914340972900391 × 217)
    floor (0.914340972900391 × 131072)
    floor (119844.5)     		ty = 119844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120532 / 119844 ti = "17/120532/119844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120532/119844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120532 ÷ 217
    120532 ÷ 131072     		x = 0.919586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119844 ÷ 217
    119844 ÷ 131072     		y = 0.914337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919586181640625 × 2 - 1) × π
    0.83917236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63633773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.82867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60335714456601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63633773} λ = 2.63633773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60335714456601))-π/2
    2×atan(0.0740246491540491)-π/2
    2×0.0738898822720437-π/2
    0.147779764544087-1.57079632675     		φ = -1.42301656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63633773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.051025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42301656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.532843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120532 KachelY 119844 2.63633773 -1.42301656 151.051025 -81.532843
    Oben rechts KachelX + 1 120533 KachelY 119844 2.63638567 -1.42301656 151.053772 -81.532843
    Unten links KachelX 120532 KachelY + 1 119845 2.63633773 -1.42302362 151.051025 -81.533248
    Unten rechts KachelX + 1 120533 KachelY + 1 119845 2.63638567 -1.42302362 151.053772 -81.533248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42301656--1.42302362) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42301656--1.42302362) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63633773-2.63638567) × cos(-1.42301656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147242463575054 × 6371000     		do = 44.9716383968045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63633773-2.63638567) × cos(-1.42302362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147235480522362 × 6371000     		du = 44.9695055927686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42301656)-sin(-1.42302362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147242463575054-0.147235480522362)×R²
    abs(2.63638567-2.63633773)×6.98305269200561e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.98305269200561e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.98305269200561e-06×40589641000000     		ar = 2022.74304995099m²