Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120531 / 119867
↖ ↑ ↗
← S 81.542140°
E151.048279°		 ← 44.92 m → S 81.542140°
E151.051025°		 →
↑
44.92 m
↓
↑
44.92 m
↓
S 81.542544°
E151.048279°		 ← 44.92 m →
2 018 m²		 S 81.542544°
E151.051025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919582366943359 y=0.914516448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919582366943359 × 217)
    floor (0.919582366943359 × 131072)
    floor (120531.5)     		tx = 120531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914516448974609 × 217)
    floor (0.914516448974609 × 131072)
    floor (119867.5)     		ty = 119867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120531 / 119867 ti = "17/120531/119867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120531/119867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120531 ÷ 217
    120531 ÷ 131072     		x = 0.919578552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119867 ÷ 217
    119867 ÷ 131072     		y = 0.914512634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919578552246094 × 2 - 1) × π
    0.839157104492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.63628979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914512634277344 × 2 - 1) × π
    -0.829025268554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.60445969325727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63628979} λ = 2.63628979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60445969325727))-π/2
    2×atan(0.073943078350158)-π/2
    2×0.073808755524543-π/2
    0.147617511049086-1.57079632675     		φ = -1.42317882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63628979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.048279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42317882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.542140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120531 KachelY 119867 2.63628979 -1.42317882 151.048279 -81.542140
    Oben rechts KachelX + 1 120532 KachelY 119867 2.63633773 -1.42317882 151.051025 -81.542140
    Unten links KachelX 120531 KachelY + 1 119868 2.63628979 -1.42318587 151.048279 -81.542544
    Unten rechts KachelX + 1 120532 KachelY + 1 119868 2.63633773 -1.42318587 151.051025 -81.542544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42317882--1.42318587) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dl = 44.9155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42317882--1.42318587) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dr = 44.9155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63628979-2.63633773) × cos(-1.42317882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147081970201968 × 6371000     		do = 44.9226195895647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63628979-2.63633773) × cos(-1.42318587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147074996871951 × 6371000     		du = 44.9204897550839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42317882)-sin(-1.42318587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147081970201968-0.147074996871951)×R²
    abs(2.63633773-2.63628979)×6.97333001714595e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.97333001714595e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.97333001714595e-06×40589641000000     		ar = 2017.67633507423m²