Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12053 / 12773
↖ ↑ ↗
← S 70.414715°
E 84.836426°		 ← 818.99 m → S 70.414715°
E 84.858398°		 →
↑
818.86 m
↓
↑
818.86 m
↓
S 70.422079°
E 84.836426°		 ← 818.69 m →
670 520 m²		 S 70.422079°
E 84.858398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735687255859375 y=0.779632568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735687255859375 × 214)
    floor (0.735687255859375 × 16384)
    floor (12053.5)     		tx = 12053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779632568359375 × 214)
    floor (0.779632568359375 × 16384)
    floor (12773.5)     		ty = 12773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12053 / 12773 ti = "14/12053/12773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12053/12773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12053 ÷ 214
    12053 ÷ 16384     		x = 0.73565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12773 ÷ 214
    12773 ÷ 16384     		y = 0.77960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73565673828125 × 2 - 1) × π
    0.4713134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48067496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.5592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75679149727582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48067496} λ = 1.48067496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75679149727582))-π/2
    2×atan(0.172597756742215)-π/2
    2×0.170913858880809-π/2
    0.341827717761618-1.57079632675     		φ = -1.22896861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48067496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22896861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.414715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12053 KachelY 12773 1.48067496 -1.22896861 84.836426 -70.414715
    Oben rechts KachelX + 1 12054 KachelY 12773 1.48105845 -1.22896861 84.858398 -70.414715
    Unten links KachelX 12053 KachelY + 1 12774 1.48067496 -1.22909714 84.836426 -70.422079
    Unten rechts KachelX + 1 12054 KachelY + 1 12774 1.48105845 -1.22909714 84.858398 -70.422079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22896861--1.22909714) × R
    0.000128530000000016 × 6371000     		dl = 818.864630000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22896861--1.22909714) × R
    0.000128530000000016 × 6371000     		dr = 818.864630000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48067496-1.48105845) × cos(-1.22896861) × R
    0.000383489999999931 × 0.335209622702346 × 6371000     		do = 818.989107936545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48067496-1.48105845) × cos(-1.22909714) × R
    0.000383489999999931 × 0.335088526220642 × 6371000     		du = 818.693243221428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22896861)-sin(-1.22909714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335209622702346-0.335088526220642)×R²
    abs(1.48105845-1.48067496)×0.00012109648170433×R²
    0.000383489999999931×0.00012109648170433×6371000²
    0.000383489999999931×0.00012109648170433×40589641000000     		ar = 670520.077193103m²