Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120526 / 119855
↖ ↑ ↗
← S 81.537290°
E151.034546°		 ← 44.95 m → S 81.537290°
E151.037293°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
S 81.537695°
E151.034546°		 ← 44.95 m →
2 022 m²		 S 81.537695°
E151.037293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919544219970703 y=0.914424896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919544219970703 × 217)
    floor (0.919544219970703 × 131072)
    floor (120526.5)     		tx = 120526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914424896240234 × 217)
    floor (0.914424896240234 × 131072)
    floor (119855.5)     		ty = 119855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120526 / 119855 ti = "17/120526/119855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120526/119855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120526 ÷ 217
    120526 ÷ 131072     		x = 0.919540405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119855 ÷ 217
    119855 ÷ 131072     		y = 0.914421081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919540405273438 × 2 - 1) × π
    0.839080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63605011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914421081542969 × 2 - 1) × π
    -0.828842163085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.60388445046183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63605011} λ = 2.63605011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60388445046183))-π/2
    2×atan(0.0739856258096381)-π/2
    2×0.073851071485018-π/2
    0.147702142970036-1.57079632675     		φ = -1.42309418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63605011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.034546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42309418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.537290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120526 KachelY 119855 2.63605011 -1.42309418 151.034546 -81.537290
    Oben rechts KachelX + 1 120527 KachelY 119855 2.63609805 -1.42309418 151.037293 -81.537290
    Unten links KachelX 120526 KachelY + 1 119856 2.63605011 -1.42310124 151.034546 -81.537695
    Unten rechts KachelX + 1 120527 KachelY + 1 119856 2.63609805 -1.42310124 151.037293 -81.537695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42309418--1.42310124) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42309418--1.42310124) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63605011-2.63609805) × cos(-1.42309418) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.147165689156342 × 6371000     		do = 44.9481895135727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63605011-2.63609805) × cos(-1.42310124) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.147158706022985 × 6371000     		du = 44.9460566848994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42309418)-sin(-1.42310124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147165689156342-0.147158706022985)×R²
    abs(2.63609805-2.63605011)×6.98313335750766e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.98313335750766e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.98313335750766e-06×40589641000000     		ar = 2021.6883360511m²