Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120524 / 119852
↖ ↑ ↗
← S 81.536078°
E151.029053°		 ← 44.95 m → S 81.536078°
E151.031799°		 →
↑
44.92 m
↓
↑
44.92 m
↓
S 81.536482°
E151.029053°		 ← 44.94 m →
2 019 m²		 S 81.536482°
E151.031799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919528961181641 y=0.914402008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919528961181641 × 217)
    floor (0.919528961181641 × 131072)
    floor (120524.5)     		tx = 120524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914402008056641 × 217)
    floor (0.914402008056641 × 131072)
    floor (119852.5)     		ty = 119852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120524 / 119852 ti = "17/120524/119852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120524/119852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120524 ÷ 217
    120524 ÷ 131072     		x = 0.919525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119852 ÷ 217
    119852 ÷ 131072     		y = 0.914398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919525146484375 × 2 - 1) × π
    0.83905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63595424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.82879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60374063976297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63595424} λ = 2.63595424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60374063976297))-π/2
    2×atan(0.0739962664992956)-π/2
    2×0.0738616542377014-π/2
    0.147723308475403-1.57079632675     		φ = -1.42307302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63595424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.029053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42307302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.536078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120524 KachelY 119852 2.63595424 -1.42307302 151.029053 -81.536078
    Oben rechts KachelX + 1 120525 KachelY 119852 2.63600217 -1.42307302 151.031799 -81.536078
    Unten links KachelX 120524 KachelY + 1 119853 2.63595424 -1.42308007 151.029053 -81.536482
    Unten rechts KachelX + 1 120525 KachelY + 1 119853 2.63600217 -1.42308007 151.031799 -81.536482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42307302--1.42308007) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dl = 44.9155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42307302--1.42308007) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dr = 44.9155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63595424-2.63600217) × cos(-1.42307302) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147186618730227 × 6371000     		do = 44.9452046843258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63595424-2.63600217) × cos(-1.42308007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147179645509954 × 6371000     		du = 44.9430753276273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42307302)-sin(-1.42308007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147186618730227-0.147179645509954)×R²
    abs(2.63600217-2.63595424)×6.97322027373715e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.97322027373715e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.97322027373715e-06×40589641000000     		ar = 2018.69076753857m²