Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120523 / 119854
↖ ↑ ↗
← S 81.536886°
E151.026306°		 ← 44.95 m → S 81.536886°
E151.029053°		 →
↑
44.92 m
↓
↑
44.92 m
↓
S 81.537290°
E151.026306°		 ← 44.95 m →
2 019 m²		 S 81.537290°
E151.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919521331787109 y=0.914417266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919521331787109 × 217)
    floor (0.919521331787109 × 131072)
    floor (120523.5)     		tx = 120523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914417266845703 × 217)
    floor (0.914417266845703 × 131072)
    floor (119854.5)     		ty = 119854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120523 / 119854 ti = "17/120523/119854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120523/119854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120523 ÷ 217
    120523 ÷ 131072     		x = 0.919517517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119854 ÷ 217
    119854 ÷ 131072     		y = 0.914413452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919517517089844 × 2 - 1) × π
    0.839035034179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.63590630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914413452148438 × 2 - 1) × π
    -0.828826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60383651356221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63590630} λ = 2.63590630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60383651356221))-π/2
    2×atan(0.0739891725361648)-π/2
    2×0.0738545989019871-π/2
    0.147709197803974-1.57079632675     		φ = -1.42308713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63590630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.026306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42308713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.536886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120523 KachelY 119854 2.63590630 -1.42308713 151.026306 -81.536886
    Oben rechts KachelX + 1 120524 KachelY 119854 2.63595424 -1.42308713 151.029053 -81.536886
    Unten links KachelX 120523 KachelY + 1 119855 2.63590630 -1.42309418 151.026306 -81.537290
    Unten rechts KachelX + 1 120524 KachelY + 1 119855 2.63595424 -1.42309418 151.029053 -81.537290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42308713--1.42309418) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dl = 44.9155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42308713--1.42309418) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dr = 44.9155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63590630-2.63595424) × cos(-1.42308713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147172662391256 × 6371000     		do = 44.9503193185902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63590630-2.63595424) × cos(-1.42309418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147165689156342 × 6371000     		du = 44.9481895131563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42308713)-sin(-1.42309418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147172662391256-0.147165689156342)×R²
    abs(2.63595424-2.63590630)×6.97323491416491e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.97323491416491e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.97323491416491e-06×40589641000000     		ar = 2018.920484401m²