Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120522 / 120006
↖ ↑ ↗
← S 81.598107°
E151.023559°		 ← 44.63 m → S 81.598107°
E151.026306°		 →
↑
44.66 m
↓
↑
44.66 m
↓
S 81.598509°
E151.023559°		 ← 44.63 m →
1 993 m²		 S 81.598509°
E151.026306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919513702392578 y=0.915576934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919513702392578 × 217)
    floor (0.919513702392578 × 131072)
    floor (120522.5)     		tx = 120522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915576934814453 × 217)
    floor (0.915576934814453 × 131072)
    floor (120006.5)     		ty = 120006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120522 / 120006 ti = "17/120522/120006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120522/120006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120522 ÷ 217
    120522 ÷ 131072     		x = 0.919509887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120006 ÷ 217
    120006 ÷ 131072     		y = 0.915573120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919509887695312 × 2 - 1) × π
    0.839019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63585836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915573120117188 × 2 - 1) × π
    -0.831146240234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61112292230446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63585836} λ = 2.63585836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61112292230446))-π/2
    2×atan(0.0734520165282257)-π/2
    2×0.0733203464224882-π/2
    0.146640692844976-1.57079632675     		φ = -1.42415563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63585836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.023559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42415563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.598107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120522 KachelY 120006 2.63585836 -1.42415563 151.023559 -81.598107
    Oben rechts KachelX + 1 120523 KachelY 120006 2.63590630 -1.42415563 151.026306 -81.598107
    Unten links KachelX 120522 KachelY + 1 120007 2.63585836 -1.42416264 151.023559 -81.598509
    Unten rechts KachelX + 1 120523 KachelY + 1 120007 2.63590630 -1.42416264 151.026306 -81.598509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42415563--1.42416264) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dl = 44.6607100001879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42415563--1.42416264) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dr = 44.6607100001879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63585836-2.63590630) × cos(-1.42415563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146115713671924 × 6371000     		do = 44.6274999738462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63585836-2.63590630) × cos(-1.42416264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146108778903117 × 6371000     		du = 44.6253819169517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42415563)-sin(-1.42416264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146115713671924-0.146108778903117)×R²
    abs(2.63590630-2.63585836)×6.9347688063659e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.9347688063659e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.9347688063659e-06×40589641000000     		ar = 1993.04853734164m²