Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120515 / 120203
↖ ↑ ↗
← S 81.676799°
E151.004333°		 ← 44.21 m → S 81.676799°
E151.007080°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
S 81.677196°
E151.004333°		 ← 44.21 m →
1 955 m²		 S 81.677196°
E151.007080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919460296630859 y=0.917079925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919460296630859 × 217)
    floor (0.919460296630859 × 131072)
    floor (120515.5)     		tx = 120515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917079925537109 × 217)
    floor (0.917079925537109 × 131072)
    floor (120203.5)     		ty = 120203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120515 / 120203 ti = "17/120515/120203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120515/120203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120515 ÷ 217
    120515 ÷ 131072     		x = 0.919456481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120203 ÷ 217
    120203 ÷ 131072     		y = 0.917076110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919456481933594 × 2 - 1) × π
    0.838912963867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.63552280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917076110839844 × 2 - 1) × π
    -0.834152221679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.62056649152961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63552280} λ = 2.63552280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62056649152961))-π/2
    2×atan(0.0727616323017869)-π/2
    2×0.0726336324396378-π/2
    0.145267264879276-1.57079632675     		φ = -1.42552906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63552280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.004333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42552906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.676799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120515 KachelY 120203 2.63552280 -1.42552906 151.004333 -81.676799
    Oben rechts KachelX + 1 120516 KachelY 120203 2.63557074 -1.42552906 151.007080 -81.676799
    Unten links KachelX 120515 KachelY + 1 120204 2.63552280 -1.42553600 151.004333 -81.677196
    Unten rechts KachelX + 1 120516 KachelY + 1 120204 2.63557074 -1.42553600 151.007080 -81.677196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42552906--1.42553600) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42552906--1.42553600) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63552280-2.63557074) × cos(-1.42552906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144756886618713 × 6371000     		do = 44.2124792155877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63552280-2.63557074) × cos(-1.42553600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144750019712495 × 6371000     		du = 44.2103818856744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42552906)-sin(-1.42553600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144756886618713-0.144750019712495)×R²
    abs(2.63557074-2.63552280)×6.86690621831687e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.86690621831687e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.86690621831687e-06×40589641000000     		ar = 1954.79690669622m²