Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120513 / 119995
↖ ↑ ↗
← S 81.593692°
E150.998840°		 ← 44.65 m → S 81.593692°
E151.001587°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.594093°
E150.998840°		 ← 44.65 m →
1 991 m²		 S 81.594093°
E151.001587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919445037841797 y=0.915493011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919445037841797 × 217)
    floor (0.919445037841797 × 131072)
    floor (120513.5)     		tx = 120513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915493011474609 × 217)
    floor (0.915493011474609 × 131072)
    floor (119995.5)     		ty = 119995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120513 / 119995 ti = "17/120513/119995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120513/119995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120513 ÷ 217
    120513 ÷ 131072     		x = 0.919441223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119995 ÷ 217
    119995 ÷ 131072     		y = 0.915489196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919441223144531 × 2 - 1) × π
    0.838882446289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.63542693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915489196777344 × 2 - 1) × π
    -0.830978393554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.61059561640864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63542693} λ = 2.63542693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61059561640864))-π/2
    2×atan(0.073490758423118)-π/2
    2×0.073358880309727-π/2
    0.146717760619454-1.57079632675     		φ = -1.42407857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63542693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.998840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42407857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.593692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120513 KachelY 119995 2.63542693 -1.42407857 150.998840 -81.593692
    Oben rechts KachelX + 1 120514 KachelY 119995 2.63547487 -1.42407857 151.001587 -81.593692
    Unten links KachelX 120513 KachelY + 1 119996 2.63542693 -1.42408557 150.998840 -81.594093
    Unten rechts KachelX + 1 120514 KachelY + 1 119996 2.63547487 -1.42408557 151.001587 -81.594093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42407857--1.42408557) × R
    6.99999999986822e-06 × 6371000     		dl = 44.5969999991604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42407857--1.42408557) × R
    6.99999999986822e-06 × 6371000     		dr = 44.5969999991604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63542693-2.63547487) × cos(-1.42407857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146191946192017 × 6371000     		do = 44.6507833477077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63542693-2.63547487) × cos(-1.42408557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146185021394733 × 6371000     		du = 44.6486683363728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42407857)-sin(-1.42408557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146191946192017-0.146185021394733)×R²
    abs(2.63547487-2.63542693)×6.92479728445217e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.92479728445217e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.92479728445217e-06×40589641000000     		ar = 1991.24382317703m²