Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120512 / 120013
↖ ↑ ↗
← S 81.600916°
E150.996094°		 ← 44.61 m → S 81.600916°
E150.998840°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.601317°
E150.996094°		 ← 44.61 m →
1 990 m²		 S 81.601317°
E150.998840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919437408447266 y=0.915630340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919437408447266 × 217)
    floor (0.919437408447266 × 131072)
    floor (120512.5)     		tx = 120512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915630340576172 × 217)
    floor (0.915630340576172 × 131072)
    floor (120013.5)     		ty = 120013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120512 / 120013 ti = "17/120512/120013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120512/120013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120512 ÷ 217
    120512 ÷ 131072     		x = 0.91943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120013 ÷ 217
    120013 ÷ 131072     		y = 0.915626525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91943359375 × 2 - 1) × π
    0.8388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63537899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915626525878906 × 2 - 1) × π
    -0.831253051757812 × 3.1415926535     		Φ = -2.6114584806018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63537899} λ = 2.63537899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6114584806018))-π/2
    2×atan(0.0734273732294861)-π/2
    2×0.0732958353216462-π/2
    0.146591670643292-1.57079632675     		φ = -1.42420466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63537899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42420466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.600916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120512 KachelY 120013 2.63537899 -1.42420466 150.996094 -81.600916
    Oben rechts KachelX + 1 120513 KachelY 120013 2.63542693 -1.42420466 150.998840 -81.600916
    Unten links KachelX 120512 KachelY + 1 120014 2.63537899 -1.42421166 150.996094 -81.601317
    Unten rechts KachelX + 1 120513 KachelY + 1 120014 2.63542693 -1.42421166 150.998840 -81.601317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42420466--1.42421166) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dl = 44.5970000005751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42420466--1.42421166) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dr = 44.5970000005751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63537899-2.63542693) × cos(-1.42420466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146067209710502 × 6371000     		do = 44.6126856155361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63537899-2.63542693) × cos(-1.42421166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146060284784242 × 6371000     		du = 44.6105705648087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42420466)-sin(-1.42421166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146067209710502-0.146060284784242)×R²
    abs(2.63542693-2.63537899)×6.92492625997687e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.92492625997687e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.92492625997687e-06×40589641000000     		ar = 1989.54477783838m²