Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120512 / 119996
↖ ↑ ↗
← S 81.594093°
E150.996094°		 ← 44.65 m → S 81.594093°
E150.998840°		 →
↑
44.66 m
↓
↑
44.66 m
↓
S 81.594494°
E150.996094°		 ← 44.65 m →
1 994 m²		 S 81.594494°
E150.998840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919437408447266 y=0.915500640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919437408447266 × 217)
    floor (0.919437408447266 × 131072)
    floor (120512.5)     		tx = 120512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915500640869141 × 217)
    floor (0.915500640869141 × 131072)
    floor (119996.5)     		ty = 119996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120512 / 119996 ti = "17/120512/119996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120512/119996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120512 ÷ 217
    120512 ÷ 131072     		x = 0.91943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119996 ÷ 217
    119996 ÷ 131072     		y = 0.915496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91943359375 × 2 - 1) × π
    0.8388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63537899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.83099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61064355330826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63537899} λ = 2.63537899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61064355330826))-π/2
    2×atan(0.073487235588446)-π/2
    2×0.0733553763983931-π/2
    0.146710752796786-1.57079632675     		φ = -1.42408557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63537899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42408557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.594093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120512 KachelY 119996 2.63537899 -1.42408557 150.996094 -81.594093
    Oben rechts KachelX + 1 120513 KachelY 119996 2.63542693 -1.42408557 150.998840 -81.594093
    Unten links KachelX 120512 KachelY + 1 119997 2.63537899 -1.42409258 150.996094 -81.594494
    Unten rechts KachelX + 1 120513 KachelY + 1 119997 2.63542693 -1.42409258 150.998840 -81.594494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42408557--1.42409258) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dl = 44.6607100001879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42408557--1.42409258) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dr = 44.6607100001879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63537899-2.63542693) × cos(-1.42408557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146185021394733 × 6371000     		do = 44.6486683363728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63537899-2.63542693) × cos(-1.42409258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146178086697702 × 6371000     		du = 44.6465503014005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42408557)-sin(-1.42409258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146185021394733-0.146178086697702)×R²
    abs(2.63542693-2.63537899)×6.93469703061389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.93469703061389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.93469703061389e-06×40589641000000     		ar = 1993.99393209635m²