Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120510 / 119861
↖ ↑ ↗
← S 81.539716°
E150.990601°		 ← 44.94 m → S 81.539716°
E150.993347°		 →
↑
44.92 m
↓
↑
44.92 m
↓
S 81.540120°
E150.990601°		 ← 44.93 m →
2 018 m²		 S 81.540120°
E150.993347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919422149658203 y=0.914470672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919422149658203 × 217)
    floor (0.919422149658203 × 131072)
    floor (120510.5)     		tx = 120510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914470672607422 × 217)
    floor (0.914470672607422 × 131072)
    floor (119861.5)     		ty = 119861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120510 / 119861 ti = "17/120510/119861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120510/119861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120510 ÷ 217
    120510 ÷ 131072     		x = 0.919418334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119861 ÷ 217
    119861 ÷ 131072     		y = 0.914466857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919418334960938 × 2 - 1) × π
    0.838836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63528312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914466857910156 × 2 - 1) × π
    -0.828933715820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.60417207185955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63528312} λ = 2.63528312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60417207185955))-π/2
    2×atan(0.0739643490205081)-π/2
    2×0.0738299104951475-π/2
    0.147659820990295-1.57079632675     		φ = -1.42313651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63528312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.990601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42313651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.539716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120510 KachelY 119861 2.63528312 -1.42313651 150.990601 -81.539716
    Oben rechts KachelX + 1 120511 KachelY 119861 2.63533106 -1.42313651 150.993347 -81.539716
    Unten links KachelX 120510 KachelY + 1 119862 2.63528312 -1.42314356 150.990601 -81.540120
    Unten rechts KachelX + 1 120511 KachelY + 1 119862 2.63533106 -1.42314356 150.993347 -81.540120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42313651--1.42314356) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dl = 44.9155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42313651--1.42314356) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dr = 44.9155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63528312-2.63533106) × cos(-1.42313651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147123819919723 × 6371000     		do = 44.9354015705786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63528312-2.63533106) × cos(-1.42314356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147116846633583 × 6371000     		du = 44.9332717494992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42313651)-sin(-1.42314356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147123819919723-0.147116846633583)×R²
    abs(2.63533106-2.63528312)×6.97328613952219e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.97328613952219e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.97328613952219e-06×40589641000000     		ar = 2018.25044485429m²