Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120508 / 119860
↖ ↑ ↗
← S 81.539311°
E150.985108°		 ← 44.93 m → S 81.539311°
E150.987854°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
S 81.539716°
E150.985108°		 ← 44.93 m →
2 021 m²		 S 81.539716°
E150.987854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919406890869141 y=0.914463043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919406890869141 × 217)
    floor (0.919406890869141 × 131072)
    floor (120508.5)     		tx = 120508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914463043212891 × 217)
    floor (0.914463043212891 × 131072)
    floor (119860.5)     		ty = 119860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120508 / 119860 ti = "17/120508/119860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120508/119860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120508 ÷ 217
    120508 ÷ 131072     		x = 0.919403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119860 ÷ 217
    119860 ÷ 131072     		y = 0.914459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919403076171875 × 2 - 1) × π
    0.83880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63518725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.82891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60412413495993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63518725} λ = 2.63518725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60412413495993))-π/2
    2×atan(0.073967894727067)-π/2
    2×0.0738334369087428-π/2
    0.147666873817486-1.57079632675     		φ = -1.42312945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63518725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42312945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.539311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120508 KachelY 119860 2.63518725 -1.42312945 150.985108 -81.539311
    Oben rechts KachelX + 1 120509 KachelY 119860 2.63523518 -1.42312945 150.987854 -81.539311
    Unten links KachelX 120508 KachelY + 1 119861 2.63518725 -1.42313651 150.985108 -81.539716
    Unten rechts KachelX + 1 120509 KachelY + 1 119861 2.63523518 -1.42313651 150.987854 -81.539716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42312945--1.42313651) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42312945--1.42313651) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63518725-2.63523518) × cos(-1.42312945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14713080308972 × 6371000     		do = 44.9281607070347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63518725-2.63523518) × cos(-1.42313651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147123819919723 × 6371000     		du = 44.9260283120684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42312945)-sin(-1.42313651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14713080308972-0.147123819919723)×R²
    abs(2.63523518-2.63518725)×6.9831699974765e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.9831699974765e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.9831699974765e-06×40589641000000     		ar = 2020.78746512062m²