Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120506 / 120018
↖ ↑ ↗
← S 81.602922°
E150.979614°		 ← 44.60 m → S 81.602922°
E150.982361°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.603323°
E150.979614°		 ← 44.60 m →
1 989 m²		 S 81.603323°
E150.982361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919391632080078 y=0.915668487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919391632080078 × 217)
    floor (0.919391632080078 × 131072)
    floor (120506.5)     		tx = 120506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915668487548828 × 217)
    floor (0.915668487548828 × 131072)
    floor (120018.5)     		ty = 120018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120506 / 120018 ti = "17/120506/120018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120506/120018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120506 ÷ 217
    120506 ÷ 131072     		x = 0.919387817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120018 ÷ 217
    120018 ÷ 131072     		y = 0.915664672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919387817382812 × 2 - 1) × π
    0.838775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63509137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915664672851562 × 2 - 1) × π
    -0.831329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6116981650999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63509137} λ = 2.63509137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6116981650999))-π/2
    2×atan(0.0734097759353704)-π/2
    2×0.0732783323734467-π/2
    0.146556664746893-1.57079632675     		φ = -1.42423966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63509137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.979614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42423966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.602922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120506 KachelY 120018 2.63509137 -1.42423966 150.979614 -81.602922
    Oben rechts KachelX + 1 120507 KachelY 120018 2.63513931 -1.42423966 150.982361 -81.602922
    Unten links KachelX 120506 KachelY + 1 120019 2.63509137 -1.42424666 150.979614 -81.603323
    Unten rechts KachelX + 1 120507 KachelY + 1 120019 2.63513931 -1.42424666 150.982361 -81.603323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42423966--1.42424666) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dl = 44.5970000005751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42423966--1.42424666) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dr = 44.5970000005751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63509137-2.63513931) × cos(-1.42423966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146032585007637 × 6371000     		do = 44.6021103400411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63509137-2.63513931) × cos(-1.42424666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146025660045595 × 6371000     		du = 44.5999952783852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42423966)-sin(-1.42424666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146032585007637-0.146025660045595)×R²
    abs(2.63513931-2.63509137)×6.92496204138249e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.92496204138249e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.92496204138249e-06×40589641000000     		ar = 1989.07315210104m²