Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120506 / 120008
↖ ↑ ↗
← S 81.598910°
E150.979614°		 ← 44.62 m → S 81.598910°
E150.982361°		 →
↑
44.66 m
↓
↑
44.66 m
↓
S 81.599311°
E150.979614°		 ← 44.62 m →
1 993 m²		 S 81.599311°
E150.982361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919391632080078 y=0.915592193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919391632080078 × 217)
    floor (0.919391632080078 × 131072)
    floor (120506.5)     		tx = 120506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915592193603516 × 217)
    floor (0.915592193603516 × 131072)
    floor (120008.5)     		ty = 120008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120506 / 120008 ti = "17/120506/120008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120506/120008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120506 ÷ 217
    120506 ÷ 131072     		x = 0.919387817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120008 ÷ 217
    120008 ÷ 131072     		y = 0.91558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919387817382812 × 2 - 1) × π
    0.838775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63509137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.8311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6112187961037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63509137} λ = 2.63509137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6112187961037))-π/2
    2×atan(0.073444974741906)-π/2
    2×0.0733133424205285-π/2
    0.146626684841057-1.57079632675     		φ = -1.42416964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63509137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.979614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42416964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.598910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120506 KachelY 120008 2.63509137 -1.42416964 150.979614 -81.598910
    Oben rechts KachelX + 1 120507 KachelY 120008 2.63513931 -1.42416964 150.982361 -81.598910
    Unten links KachelX 120506 KachelY + 1 120009 2.63509137 -1.42417665 150.979614 -81.599311
    Unten rechts KachelX + 1 120507 KachelY + 1 120009 2.63513931 -1.42417665 150.982361 -81.599311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42416964--1.42417665) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dl = 44.6607100001879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42416964--1.42417665) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dr = 44.6607100001879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63509137-2.63513931) × cos(-1.42416964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146101854019827 × 6371000     		do = 44.6232668793483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63509137-2.63513931) × cos(-1.42417665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146094919236672 × 6371000     		du = 44.6211488180714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42416964)-sin(-1.42417665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146101854019827-0.146094919236672)×R²
    abs(2.63513931-2.63509137)×6.93478315536011e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.93478315536011e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.93478315536011e-06×40589641000000     		ar = 1992.85948431486m²