Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120505 / 119848
↖ ↑ ↗
← S 81.534461°
E150.976868°		 ← 44.95 m → S 81.534461°
E150.979614°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
S 81.534865°
E150.976868°		 ← 44.95 m →
2 022 m²		 S 81.534865°
E150.979614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919384002685547 y=0.914371490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919384002685547 × 217)
    floor (0.919384002685547 × 131072)
    floor (120505.5)     		tx = 120505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914371490478516 × 217)
    floor (0.914371490478516 × 131072)
    floor (119848.5)     		ty = 119848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120505 / 119848 ti = "17/120505/119848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120505/119848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120505 ÷ 217
    120505 ÷ 131072     		x = 0.919380187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119848 ÷ 217
    119848 ÷ 131072     		y = 0.91436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919380187988281 × 2 - 1) × π
    0.838760375976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.63504344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.8287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60354889216449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63504344} λ = 2.63504344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60354889216449))-π/2
    2×atan(0.0740104564660959)-π/2
    2×0.0738757669164514-π/2
    0.147751533832903-1.57079632675     		φ = -1.42304479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63504344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.976868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42304479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.534461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120505 KachelY 119848 2.63504344 -1.42304479 150.976868 -81.534461
    Oben rechts KachelX + 1 120506 KachelY 119848 2.63509137 -1.42304479 150.979614 -81.534461
    Unten links KachelX 120505 KachelY + 1 119849 2.63504344 -1.42305185 150.976868 -81.534865
    Unten rechts KachelX + 1 120506 KachelY + 1 119849 2.63509137 -1.42305185 150.979614 -81.534865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42304479--1.42305185) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42304479--1.42305185) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63504344-2.63509137) × cos(-1.42304479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147214541211301 × 6371000     		do = 44.953731149829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63504344-2.63509137) × cos(-1.42305185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147207558129266 × 6371000     		du = 44.9515987817233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42304479)-sin(-1.42305185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147214541211301-0.147207558129266)×R²
    abs(2.63509137-2.63504344)×6.98308203450626e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.98308203450626e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.98308203450626e-06×40589641000000     		ar = 2021.93760528109m²