Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120504 / 120216
↖ ↑ ↗
← S 81.681966°
E150.974121°		 ← 44.19 m → S 81.681966°
E150.976868°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
S 81.682363°
E150.974121°		 ← 44.18 m →
1 954 m²		 S 81.682363°
E150.976868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919376373291016 y=0.917179107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919376373291016 × 217)
    floor (0.919376373291016 × 131072)
    floor (120504.5)     		tx = 120504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917179107666016 × 217)
    floor (0.917179107666016 × 131072)
    floor (120216.5)     		ty = 120216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120504 / 120216 ti = "17/120504/120216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120504/120216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120504 ÷ 217
    120504 ÷ 131072     		x = 0.91937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120216 ÷ 217
    120216 ÷ 131072     		y = 0.91717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91937255859375 × 2 - 1) × π
    0.8387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63499550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.8343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62118967122467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63499550} λ = 2.63499550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62118967122467))-π/2
    2×atan(0.0727163028556192)-π/2
    2×0.0725885415673622-π/2
    0.145177083134724-1.57079632675     		φ = -1.42561924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63499550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.974121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42561924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.681966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120504 KachelY 120216 2.63499550 -1.42561924 150.974121 -81.681966
    Oben rechts KachelX + 1 120505 KachelY 120216 2.63504344 -1.42561924 150.976868 -81.681966
    Unten links KachelX 120504 KachelY + 1 120217 2.63499550 -1.42562618 150.974121 -81.682363
    Unten rechts KachelX + 1 120505 KachelY + 1 120217 2.63504344 -1.42562618 150.976868 -81.682363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42561924--1.42562618) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42561924--1.42562618) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63499550-2.63504344) × cos(-1.42561924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144667655873391 × 6371000     		do = 44.1852258491667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63499550-2.63504344) × cos(-1.42562618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144660788876606 × 6371000     		du = 44.1831284915923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42561924)-sin(-1.42562618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144667655873391-0.144660788876606)×R²
    abs(2.63504344-2.63499550)×6.8669967842605e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.8669967842605e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.8669967842605e-06×40589641000000     		ar = 1953.59190587756m²