Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120501 / 120213
↖ ↑ ↗
← S 81.680774°
E150.965881°		 ← 44.18 m → S 81.680774°
E150.968628°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
S 81.681171°
E150.965881°		 ← 44.18 m →
1 951 m²		 S 81.681171°
E150.968628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919353485107422 y=0.917156219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919353485107422 × 217)
    floor (0.919353485107422 × 131072)
    floor (120501.5)     		tx = 120501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917156219482422 × 217)
    floor (0.917156219482422 × 131072)
    floor (120213.5)     		ty = 120213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120501 / 120213 ti = "17/120501/120213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120501/120213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120501 ÷ 217
    120501 ÷ 131072     		x = 0.919349670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120213 ÷ 217
    120213 ÷ 131072     		y = 0.917152404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919349670410156 × 2 - 1) × π
    0.838699340820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.63485169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917152404785156 × 2 - 1) × π
    -0.834304809570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.62104586052581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63485169} λ = 2.63485169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62104586052581))-π/2
    2×atan(0.0727267609899291)-π/2
    2×0.0725989446856009-π/2
    0.145197889371202-1.57079632675     		φ = -1.42559844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63485169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.965881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42559844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.680774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120501 KachelY 120213 2.63485169 -1.42559844 150.965881 -81.680774
    Oben rechts KachelX + 1 120502 KachelY 120213 2.63489962 -1.42559844 150.968628 -81.680774
    Unten links KachelX 120501 KachelY + 1 120214 2.63485169 -1.42560537 150.965881 -81.681171
    Unten rechts KachelX + 1 120502 KachelY + 1 120214 2.63489962 -1.42560537 150.968628 -81.681171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42559844--1.42560537) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42559844--1.42560537) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63485169-2.63489962) × cos(-1.42559844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14468823703239 × 6371000     		do = 44.1822937773589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63485169-2.63489962) × cos(-1.42560537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144681379951273 × 6371000     		du = 44.180199885149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42559844)-sin(-1.42560537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14468823703239-0.144681379951273)×R²
    abs(2.63489962-2.63485169)×6.85708111727856e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.85708111727856e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.85708111727856e-06×40589641000000     		ar = 1950.64755415572m²