Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12050 / 15070
↖ ↑ ↗
← N 14.285677°
W 47.614746°		 ← 1 183.86 m → N 14.285677°
W 47.603760°		 →
↑
1 183.86 m
↓
↑
1 183.86 m
↓
N 14.275030°
W 47.614746°		 ← 1 183.92 m →
1 401 560 m²		 N 14.275030°
W 47.603760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367752075195312 y=0.459915161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367752075195312 × 215)
    floor (0.367752075195312 × 32768)
    floor (12050.5)     		tx = 12050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459915161132812 × 215)
    floor (0.459915161132812 × 32768)
    floor (15070.5)     		ty = 15070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12050 / 15070 ti = "15/12050/15070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12050/15070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12050 ÷ 215
    12050 ÷ 32768     		x = 0.36773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15070 ÷ 215
    15070 ÷ 32768     		y = 0.45989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.2645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83103409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45989990234375 × 2 - 1) × π
    0.0802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.251956344403015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83103409} λ = -0.83103409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.251956344403015))-π/2
    2×atan(1.28653987139274)-π/2
    2×0.910064215776759-π/2
    1.82012843155352-1.57079632675     		φ = 0.24933210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83103409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24933210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.285677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12050 KachelY 15070 -0.83103409 0.24933210 -47.614746 14.285677
    Oben rechts KachelX + 1 12051 KachelY 15070 -0.83084234 0.24933210 -47.603760 14.285677
    Unten links KachelX 12050 KachelY + 1 15071 -0.83103409 0.24914628 -47.614746 14.275030
    Unten rechts KachelX + 1 12051 KachelY + 1 15071 -0.83084234 0.24914628 -47.603760 14.275030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24933210-0.24914628) × R
    0.000185820000000003 × 6371000     		dl = 1183.85922000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24933210-0.24914628) × R
    0.000185820000000003 × 6371000     		dr = 1183.85922000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83103409--0.83084234) × cos(0.24933210) × R
    0.000191749999999935 × 0.969077446691484 × 6371000     		do = 1183.8630451677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83103409--0.83084234) × cos(0.24914628) × R
    0.000191749999999935 × 0.969123282303087 × 6371000     		du = 1183.91903974988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24933210)-sin(0.24914628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969077446691484-0.969123282303087)×R²
    abs(-0.83084234--0.83103409)×4.58356116029845e-05×R²
    0.000191749999999935×4.58356116029845e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.58356116029845e-05×40589641000000     		ar = 1401560.3301231m²