Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120495 / 120243
↖ ↑ ↗
← S 81.692687°
E150.949402°		 ← 44.12 m → S 81.692687°
E150.952148°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
S 81.693084°
E150.949402°		 ← 44.12 m →
1 945 m²		 S 81.693084°
E150.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919307708740234 y=0.917385101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919307708740234 × 217)
    floor (0.919307708740234 × 131072)
    floor (120495.5)     		tx = 120495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917385101318359 × 217)
    floor (0.917385101318359 × 131072)
    floor (120243.5)     		ty = 120243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120495 / 120243 ti = "17/120495/120243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120495/120243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120495 ÷ 217
    120495 ÷ 131072     		x = 0.919303894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120243 ÷ 217
    120243 ÷ 131072     		y = 0.917381286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919303894042969 × 2 - 1) × π
    0.838607788085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.63456407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917381286621094 × 2 - 1) × π
    -0.834762573242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.62248396751441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63456407} λ = 2.63456407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62248396751441))-π/2
    2×atan(0.0726222472956407)-π/2
    2×0.0724949800891081-π/2
    0.144989960178216-1.57079632675     		φ = -1.42580637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63456407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.949402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42580637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.692687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120495 KachelY 120243 2.63456407 -1.42580637 150.949402 -81.692687
    Oben rechts KachelX + 1 120496 KachelY 120243 2.63461200 -1.42580637 150.952148 -81.692687
    Unten links KachelX 120495 KachelY + 1 120244 2.63456407 -1.42581329 150.949402 -81.693084
    Unten rechts KachelX + 1 120496 KachelY + 1 120244 2.63461200 -1.42581329 150.952148 -81.693084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42580637--1.42581329) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42580637--1.42581329) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63456407-2.63461200) × cos(-1.42580637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144482491892476 × 6371000     		do = 44.1194670237719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63456407-2.63461200) × cos(-1.42581329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144475644498106 × 6371000     		du = 44.117376089527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42580637)-sin(-1.42581329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144482491892476-0.144475644498106)×R²
    abs(2.63461200-2.63456407)×6.8473943695968e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.8473943695968e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.8473943695968e-06×40589641000000     		ar = 1945.06296902184m²