Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120492 / 120244
↖ ↑ ↗
← S 81.693084°
E150.941162°		 ← 44.12 m → S 81.693084°
E150.943909°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
S 81.693481°
E150.941162°		 ← 44.12 m →
1 948 m²		 S 81.693481°
E150.943909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919284820556641 y=0.917392730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919284820556641 × 217)
    floor (0.919284820556641 × 131072)
    floor (120492.5)     		tx = 120492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917392730712891 × 217)
    floor (0.917392730712891 × 131072)
    floor (120244.5)     		ty = 120244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120492 / 120244 ti = "17/120492/120244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120492/120244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120492 ÷ 217
    120492 ÷ 131072     		x = 0.919281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120244 ÷ 217
    120244 ÷ 131072     		y = 0.917388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919281005859375 × 2 - 1) × π
    0.83856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63442026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.83477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62253190441403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63442026} λ = 2.63442026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62253190441403))-π/2
    2×atan(0.0726187660937016)-π/2
    2×0.0724915171498035-π/2
    0.144983034299607-1.57079632675     		φ = -1.42581329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63442026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.941162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42581329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.693084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120492 KachelY 120244 2.63442026 -1.42581329 150.941162 -81.693084
    Oben rechts KachelX + 1 120493 KachelY 120244 2.63446819 -1.42581329 150.943909 -81.693084
    Unten links KachelX 120492 KachelY + 1 120245 2.63442026 -1.42582022 150.941162 -81.693481
    Unten rechts KachelX + 1 120493 KachelY + 1 120245 2.63446819 -1.42582022 150.943909 -81.693481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42581329--1.42582022) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42581329--1.42582022) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63442026-2.63446819) × cos(-1.42581329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144475644498106 × 6371000     		do = 44.117376089527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63442026-2.63446819) × cos(-1.42582022) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144468787201724 × 6371000     		du = 44.1152821315835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42581329)-sin(-1.42582022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144475644498106-0.144468787201724)×R²
    abs(2.63446819-2.63442026)×6.85729638175148e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.85729638175148e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.85729638175148e-06×40589641000000     		ar = 1947.78137024578m²