Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120491 / 120242
↖ ↑ ↗
← S 81.692290°
E150.938416°		 ← 44.13 m → S 81.692290°
E150.941162°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
S 81.692687°
E150.938416°		 ← 44.13 m →
1 948 m²		 S 81.692687°
E150.941162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919277191162109 y=0.917377471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919277191162109 × 217)
    floor (0.919277191162109 × 131072)
    floor (120491.5)     		tx = 120491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917377471923828 × 217)
    floor (0.917377471923828 × 131072)
    floor (120242.5)     		ty = 120242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120491 / 120242 ti = "17/120491/120242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120491/120242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120491 ÷ 217
    120491 ÷ 131072     		x = 0.919273376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120242 ÷ 217
    120242 ÷ 131072     		y = 0.917373657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919273376464844 × 2 - 1) × π
    0.838546752929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.63437232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917373657226562 × 2 - 1) × π
    -0.834747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62243603061479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63437232} λ = 2.63437232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62243603061479))-π/2
    2×atan(0.0726257286644619)-π/2
    2×0.0724984431926773-π/2
    0.144996886385355-1.57079632675     		φ = -1.42579944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63437232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.938416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42579944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.692290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120491 KachelY 120242 2.63437232 -1.42579944 150.938416 -81.692290
    Oben rechts KachelX + 1 120492 KachelY 120242 2.63442026 -1.42579944 150.941162 -81.692290
    Unten links KachelX 120491 KachelY + 1 120243 2.63437232 -1.42580637 150.938416 -81.692687
    Unten rechts KachelX + 1 120492 KachelY + 1 120243 2.63442026 -1.42580637 150.941162 -81.692687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42579944--1.42580637) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42579944--1.42580637) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63437232-2.63442026) × cos(-1.42579944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14448934917499 × 6371000     		do = 44.1307663938608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63437232-2.63442026) × cos(-1.42580637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144482491892476 × 6371000     		du = 44.1286720032744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42579944)-sin(-1.42580637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14448934917499-0.144482491892476)×R²
    abs(2.63442026-2.63437232)×6.8572825145663e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.8572825145663e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.8572825145663e-06×40589641000000     		ar = 1948.37255623587m²