Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120489 / 120232
↖ ↑ ↗
← S 81.688321°
E150.932922°		 ← 44.15 m → S 81.688321°
E150.935669°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
S 81.688718°
E150.932922°		 ← 44.15 m →
1 949 m²		 S 81.688718°
E150.935669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919261932373047 y=0.917301177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919261932373047 × 217)
    floor (0.919261932373047 × 131072)
    floor (120489.5)     		tx = 120489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917301177978516 × 217)
    floor (0.917301177978516 × 131072)
    floor (120232.5)     		ty = 120232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120489 / 120232 ti = "17/120489/120232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120489/120232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120489 ÷ 217
    120489 ÷ 131072     		x = 0.919258117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120232 ÷ 217
    120232 ÷ 131072     		y = 0.91729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919258117675781 × 2 - 1) × π
    0.838516235351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.63427644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.8345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62195666161859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63427644} λ = 2.63427644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62195666161859))-π/2
    2×atan(0.072660551532945)-π/2
    2×0.0725330832646036-π/2
    0.145066166529207-1.57079632675     		φ = -1.42573016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63427644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.932922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42573016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.688321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120489 KachelY 120232 2.63427644 -1.42573016 150.932922 -81.688321
    Oben rechts KachelX + 1 120490 KachelY 120232 2.63432438 -1.42573016 150.935669 -81.688321
    Unten links KachelX 120489 KachelY + 1 120233 2.63427644 -1.42573709 150.932922 -81.688718
    Unten rechts KachelX + 1 120490 KachelY + 1 120233 2.63432438 -1.42573709 150.935669 -81.688718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42573016--1.42573709) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dl = 44.1510299990415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42573016--1.42573709) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dr = 44.1510299990415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63427644-2.63432438) × cos(-1.42573016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144557901828504 × 6371000     		do = 44.1517041387893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63427644-2.63432438) × cos(-1.42573709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144551044615376 × 6371000     		du = 44.1496097693951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42573016)-sin(-1.42573709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144557901828504-0.144551044615376)×R²
    abs(2.63432438-2.63427644)×6.85721312870813e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.85721312870813e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.85721312870813e-06×40589641000000     		ar = 1949.29697964026m²