Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12048 / 15064
↖ ↑ ↗
← N 14.349548°
W 47.636719°		 ← 1 183.53 m → N 14.349548°
W 47.625732°		 →
↑
1 183.54 m
↓
↑
1 183.54 m
↓
N 14.338904°
W 47.636719°		 ← 1 183.58 m →
1 400 785 m²		 N 14.338904°
W 47.625732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367691040039062 y=0.459732055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367691040039062 × 215)
    floor (0.367691040039062 × 32768)
    floor (12048.5)     		tx = 12048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459732055664062 × 215)
    floor (0.459732055664062 × 32768)
    floor (15064.5)     		ty = 15064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12048 / 15064 ti = "15/12048/15064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12048/15064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12048 ÷ 215
    12048 ÷ 32768     		x = 0.36767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15064 ÷ 215
    15064 ÷ 32768     		y = 0.459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    0.08056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.253106829993896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83141759} λ = -0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253106829993896))-π/2
    2×atan(1.28802086874657)-π/2
    2×0.910621591359602-π/2
    1.8212431827192-1.57079632675     		φ = 0.25044686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25044686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.349548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12048 KachelY 15064 -0.83141759 0.25044686 -47.636719 14.349548
    Oben rechts KachelX + 1 12049 KachelY 15064 -0.83122584 0.25044686 -47.625732 14.349548
    Unten links KachelX 12048 KachelY + 1 15065 -0.83141759 0.25026109 -47.636719 14.338904
    Unten rechts KachelX + 1 12049 KachelY + 1 15065 -0.83122584 0.25026109 -47.625732 14.338904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25044686-0.25026109) × R
    0.000185769999999974 × 6371000     		dl = 1183.54066999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25044686-0.25026109) × R
    0.000185769999999974 × 6371000     		dr = 1183.54066999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83141759--0.83122584) × cos(0.25044686) × R
    0.000191750000000046 × 0.968801770043007 × 6371000     		do = 1183.5262677543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83141759--0.83122584) × cos(0.25026109) × R
    0.000191750000000046 × 0.968847793987252 × 6371000     		du = 1183.58249241102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25044686)-sin(0.25026109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968801770043007-0.968847793987252)×R²
    abs(-0.83122584--0.83141759)×4.60239442445776e-05×R²
    0.000191750000000046×4.60239442445776e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.60239442445776e-05×40589641000000     		ar = 1400784.74801276m²