Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12048 / 12814
↖ ↑ ↗
← S 70.714471°
E 84.726563°		 ← 806.94 m → S 70.714471°
E 84.748535°		 →
↑
806.82 m
↓
↑
806.82 m
↓
S 70.721726°
E 84.726563°		 ← 806.64 m →
650 936 m²		 S 70.721726°
E 84.748535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735382080078125 y=0.782135009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735382080078125 × 214)
    floor (0.735382080078125 × 16384)
    floor (12048.5)     		tx = 12048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782135009765625 × 214)
    floor (0.782135009765625 × 16384)
    floor (12814.5)     		ty = 12814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12048 / 12814 ti = "14/12048/12814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12048/12814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12048 ÷ 214
    12048 ÷ 16384     		x = 0.7353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12814 ÷ 214
    12814 ÷ 16384     		y = 0.7821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7353515625 × 2 - 1) × π
    0.470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47875748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7725148003512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47875748} λ = 1.47875748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7725148003512))-π/2
    2×atan(0.16990517352579)-π/2
    2×0.168297992739252-π/2
    0.336595985478503-1.57079632675     		φ = -1.23420034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47875748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23420034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12048 KachelY 12814 1.47875748 -1.23420034 84.726563 -70.714471
    Oben rechts KachelX + 1 12049 KachelY 12814 1.47914097 -1.23420034 84.748535 -70.714471
    Unten links KachelX 12048 KachelY + 1 12815 1.47875748 -1.23432698 84.726563 -70.721726
    Unten rechts KachelX + 1 12049 KachelY + 1 12815 1.47914097 -1.23432698 84.748535 -70.721726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23420034--1.23432698) × R
    0.000126640000000178 × 6371000     		dl = 806.823440001132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23420034--1.23432698) × R
    0.000126640000000178 × 6371000     		dr = 806.823440001132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47875748-1.47914097) × cos(-1.23420034) × R
    0.000383489999999931 × 0.330276016901136 × 6371000     		do = 806.935249275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47875748-1.47914097) × cos(-1.23432698) × R
    0.000383489999999931 × 0.330156480733137 × 6371000     		du = 806.643196741406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23420034)-sin(-1.23432698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330276016901136-0.330156480733137)×R²
    abs(1.47914097-1.47875748)×0.000119536167998591×R²
    0.000383489999999931×0.000119536167998591×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119536167998591×40589641000000     		ar = 650936.45713245m²