Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120477 / 120229
↖ ↑ ↗
← S 81.687130°
E150.899963°		 ← 44.16 m → S 81.687130°
E150.902710°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
S 81.687527°
E150.899963°		 ← 44.16 m →
1 950 m²		 S 81.687527°
E150.902710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919170379638672 y=0.917278289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919170379638672 × 217)
    floor (0.919170379638672 × 131072)
    floor (120477.5)     		tx = 120477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917278289794922 × 217)
    floor (0.917278289794922 × 131072)
    floor (120229.5)     		ty = 120229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120477 / 120229 ti = "17/120477/120229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120477/120229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120477 ÷ 217
    120477 ÷ 131072     		x = 0.919166564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120229 ÷ 217
    120229 ÷ 131072     		y = 0.917274475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919166564941406 × 2 - 1) × π
    0.838333129882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.63370120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917274475097656 × 2 - 1) × π
    -0.834548950195312 × 3.1415926535     		Φ = -2.62181285091973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63370120} λ = 2.63370120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62181285091973))-π/2
    2×atan(0.0726710016490417)-π/2
    2×0.0725434784906314-π/2
    0.145086956981263-1.57079632675     		φ = -1.42570937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63370120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.899963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42570937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.687130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120477 KachelY 120229 2.63370120 -1.42570937 150.899963 -81.687130
    Oben rechts KachelX + 1 120478 KachelY 120229 2.63374914 -1.42570937 150.902710 -81.687130
    Unten links KachelX 120477 KachelY + 1 120230 2.63370120 -1.42571630 150.899963 -81.687527
    Unten rechts KachelX + 1 120478 KachelY + 1 120230 2.63374914 -1.42571630 150.902710 -81.687527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42570937--1.42571630) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dl = 44.1510299990415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42570937--1.42571630) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dr = 44.1510299990415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63370120-2.63374914) × cos(-1.42570937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144578473426235 × 6371000     		do = 44.1579872342493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63370120-2.63374914) × cos(-1.42571630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144571616233935 × 6371000     		du = 44.1558928712165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42570937)-sin(-1.42571630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144578473426235-0.144571616233935)×R²
    abs(2.63374914-2.63370120)×6.85719230059112e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.85719230059112e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.85719230059112e-06×40589641000000     		ar = 1949.57438480132m²