Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120475 / 120217
↖ ↑ ↗
← S 81.682363°
E150.894470°		 ← 44.18 m → S 81.682363°
E150.897217°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
S 81.682760°
E150.894470°		 ← 44.18 m →
1 951 m²		 S 81.682760°
E150.897217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919155120849609 y=0.917186737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919155120849609 × 217)
    floor (0.919155120849609 × 131072)
    floor (120475.5)     		tx = 120475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917186737060547 × 217)
    floor (0.917186737060547 × 131072)
    floor (120217.5)     		ty = 120217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120475 / 120217 ti = "17/120475/120217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120475/120217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120475 ÷ 217
    120475 ÷ 131072     		x = 0.919151306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120217 ÷ 217
    120217 ÷ 131072     		y = 0.917182922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919151306152344 × 2 - 1) × π
    0.838302612304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.63360533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917182922363281 × 2 - 1) × π
    -0.834365844726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.62123760812429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63360533} λ = 2.63360533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62123760812429))-π/2
    2×atan(0.0727128171450562)-π/2
    2×0.0725850741902341-π/2
    0.145170148380468-1.57079632675     		φ = -1.42562618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63360533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.894470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42562618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.682363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120475 KachelY 120217 2.63360533 -1.42562618 150.894470 -81.682363
    Oben rechts KachelX + 1 120476 KachelY 120217 2.63365327 -1.42562618 150.897217 -81.682363
    Unten links KachelX 120475 KachelY + 1 120218 2.63360533 -1.42563311 150.894470 -81.682760
    Unten rechts KachelX + 1 120476 KachelY + 1 120218 2.63365327 -1.42563311 150.897217 -81.682760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42562618--1.42563311) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dl = 44.1510299990415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42562618--1.42563311) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dr = 44.1510299990415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63360533-2.63365327) × cos(-1.42562618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144660788876606 × 6371000     		do = 44.1831284915923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63360533-2.63365327) × cos(-1.42563311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144653931767678 × 6371000     		du = 44.1810341540236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42562618)-sin(-1.42563311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144660788876606-0.144653931767678)×R²
    abs(2.63365327-2.63360533)×6.85710892836533e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.85710892836533e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.85710892836533e-06×40589641000000     		ar = 1950.68439776454m²