Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12047 / 15087
↖ ↑ ↗
← N 14.104613°
W 47.647705°		 ← 1 184.75 m → N 14.104613°
W 47.636719°		 →
↑
1 184.81 m
↓
↑
1 184.81 m
↓
N 14.093957°
W 47.647705°		 ← 1 184.80 m →
1 403 740 m²		 N 14.093957°
W 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367660522460938 y=0.460433959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367660522460938 × 215)
    floor (0.367660522460938 × 32768)
    floor (12047.5)     		tx = 12047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460433959960938 × 215)
    floor (0.460433959960938 × 32768)
    floor (15087.5)     		ty = 15087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12047 / 15087 ti = "15/12047/15087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12047/15087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12047 ÷ 215
    12047 ÷ 32768     		x = 0.367645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15087 ÷ 215
    15087 ÷ 32768     		y = 0.460418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.26470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83160933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460418701171875 × 2 - 1) × π
    0.07916259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.248696635228851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83160933} λ = -0.83160933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248696635228851))-π/2
    2×atan(1.28235295334603)-π/2
    2×0.908484127694415-π/2
    1.81696825538883-1.57079632675     		φ = 0.24617193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83160933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.647705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24617193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.104613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12047 KachelY 15087 -0.83160933 0.24617193 -47.647705 14.104613
    Oben rechts KachelX + 1 12048 KachelY 15087 -0.83141759 0.24617193 -47.636719 14.104613
    Unten links KachelX 12047 KachelY + 1 15088 -0.83160933 0.24598596 -47.647705 14.093957
    Unten rechts KachelX + 1 12048 KachelY + 1 15088 -0.83141759 0.24598596 -47.636719 14.093957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24617193-0.24598596) × R
    0.000185970000000008 × 6371000     		dl = 1184.81487000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24617193-0.24598596) × R
    0.000185970000000008 × 6371000     		dr = 1184.81487000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83160933--0.83141759) × cos(0.24617193) × R
    0.000191739999999996 × 0.969852399801104 × 6371000     		do = 1184.7479690073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83160933--0.83141759) × cos(0.24598596) × R
    0.000191739999999996 × 0.96989770263388 × 6371000     		du = 1184.80330983972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24617193)-sin(0.24598596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969852399801104-0.96989770263388)×R²
    abs(-0.83141759--0.83160933)×4.53028327762617e-05×R²
    0.000191739999999996×4.53028327762617e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.53028327762617e-05×40589641000000     		ar = 1403739.79924846m²